二项式定理ppt课件.ppt
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1、要点梳理 1.二项式定理 . 这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数 (r=0,1,2,n)叫做 .式中的 叫做二项展开式的 ,用Tr+1表示,即展开式的第 项;Tr+1= .,10.3 二项式定理,二项式系数,通项,r+1,基础知识 自主学习,2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b 的指数的和为 . (3)字母a按 排列,从第一项开始,次数由n逐 项减1直到零;字母b按 排列,从第一项起,次 数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从 , ,一直到 , .,n+1,n,降幂,升幂,3.
2、二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端 的两个二项式 系数相等,即 (2)增减性与最大值:二项式系数 ,当 时,二项式系数是递增的;当 时,二项 式系数是递减的. 当n是偶数时,中间的一项 取得最大值. 当n是奇数时,中间两项 和 相等,且 同时取得最大值.,“等距离”,(3)各二项式系数的和 (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即 =2n. 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和 奇数 项的二项式系数的和,即 = = .,等于,基础自测 1.二项式(a+2b)n展开式中的第二项的系数是8,则它的第三项的二项式系数为 ( ) A.24 B.18 C.16 D.6 解析 T2=
3、所以2n=8,n=4,所以 = =6.,D,2.(2009浙江理,4)在二项式 的展开式中,含x4的项的系数是 ( ) A.-10 B.10 C.-5 D.5 解析 的展开式的通项为 令10-3r=4,得r=2,x4项的系数为 =10.,B,3.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为 ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析 x3=2+(x-2)3, 展开式中含(x-2)2项的系数为 a2=T2+1= 23-2=32=6.,B,4.在 的展开式中,常数项为15,则n的一个值 可以是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 通
4、项Tr+1= 常数项是15,则2n=3r,且 =15,验证n=6时,r=4 合题意.,D,5.(2009北京理,6)若(1+ )5=a+b (a、b为有理数),则a+b= ( ) A.45 B.55 C.70 D.80 解析 (1+ )5=1+5 +20+20 +20+4 =41+29 =a+b , a=41, b=29.,C,又a、b为有理数,a+b=41+29=70.,题型一 求展开式中的特定项或特定项的系数 【例1】在二项式 的展开式中,前三项的 系数成等差数列,求展开式中的有理项和二项式系 数最大的项. 利用已知条件前三项的系数成等差数 列求出n,再用通项公式求有理项. 解 二项展开式
5、的前三项的系数分别是1, , n(n-1), 2 =1+ n(n-1), 解得n=8或n=1(不合题意,舍去),,思维启迪,题型分类 深度剖析,当4- kZ时,Tk+1为有理项, 0k8且kZ,k=0,4,8符合要求. 故有理项有3项,分别是 T1=x4,T5= x,T9= x-2. n=8,展开式中共9项, 中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5= x. 求二项展开式中的指定项,一般是利用 通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符 合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指 数为整数等),解出项数k+1,代回通项公式即可.,探究提高,知能迁移1 已知 的展开式的二项式系数 和比(3x
6、-1)n的展开式的二项式系数和大992.求 的展开式中, (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项. 解 由题意知,22n-2n=992, 即(2n-32)(2n+31)=0,2n=32,解得n=5. (1)由二项式系数的性质知, 的展开式中 第6项的二项式系数最大,即 =252.,(2)设第r+1项的系数的绝对值最大, rZ,r=3.故系数的绝对值最大的是第4项, T4=- 27x4=-15 360x4.,题型二 求展开式中各项系数之和 【例2】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7. 求:(1)a1+a2+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2
7、+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+|a7|. 因为求的是展开式的系数和,所以可用赋值法求解. 解 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1 令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 ,思维启迪,(1)a0= =1,a1+a2+a3+a7=-2. (2)(-)2, 得a1+a3+a5+a7= =-1 094. (3)(+)2,得 a0+a2+a4+a6= =1 093. (4)(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零, 而a1,a3,a5,a7都小于零, |a0|+|a1|+|a2|+|a7| =(a0+a2+a4
8、+a6)-(a1+a3+a5+a7), =1093-(-1094)=2 187,探究提高 本题采用的是“赋值法”,它普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,在解有关问题时,经常要用到这种方法. 对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m (a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开式的各项系数之 和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n (a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. 一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+= ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=,知能
9、迁移2 设(2- x)100=a0+a1x+a2x2+ a100x100,求下列各式的值: (1)a0; (2)a1+a3+a5+a99; (3)(a0+a2+a4+a100)2-(a1+a3+a99)2; (4)|a0|+|a1|+|a2|+|a100|. 解 (1)方法一 由(2- x)100展开式中的常 数项为 2100,得a0=2100. 方法二 令x=0,则展开式可化为a0=2100. (2)令x=1,得a0+a1+a2+a99+a100=(2- )100 令x=-1, 可得a0-a1+a2-a3+a100=(2+ )100 ,联立得a1+a3+a99= (3)原式=(a0+a2+a
10、100)+(a1+a3+a99) (a0+a2+a100)-(a1+a3+a99) =(a0+a1+a2+a100)(a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100) =(2- )100(2+ )100=1. (4)展开式中,a0,a2,a4,a100大于零,而a1,a3, ,a99小于零, 原式=a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100 =(2+ )100.,题型三 二项式定理的综合应用 【例3】 (12分)(1)求证:46n+5n+1-9是20的倍数(nN*); (2)今天是星期一,再过3100天是星期几? (1)将6n化为(5+1)n,5n+1化为5(4+1)n利用二项式定理展
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