第一章行列式.ppt
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1、第一章 行列式,1.1 二阶与三阶行列式 1.2 全排列及其逆序数 1.3 n 阶行列式的定义 1.4 对换 1.5 行列式的性质 1.6 行列式按行(列)展开 1.7 克拉默法则,1.1 二阶与三阶行列式,二、三阶行列式,一、二元线性方程组与二阶行列式,上页,下页,结束,返回,首页,提示:,a11a22x1+a12a22x2=b1a22 ,a22,a11x1+a12x2=b1,a12,a12a21x1+a12a22x2=a12b2 ,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21)x1=b1a22-a12b2 ,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,提示:,a11a21x1+a1
2、2a21x2=b1a21 ,a21,a11x1+a12x2=b1,a11,a11a21x1+a11a22x2=a11b2 ,a21x1+a22x2=b2,(a11a22-a12a21) x2=a11b2-b1a21 ,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,这样就有,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,行列式中的相关术语,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,对角线法则,a12a21,=a11a22,二阶行列式是主对角线上两元素之积减去的副对角线上二元素之积所得的差,下页,一、二元线性方程组与二阶行列式,下页,例1 求解二元线性方程组,解,由于,a12a21,=a11a22,下页,a11a
3、22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,二、三阶行列式,下页,a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,并称它为三阶行列式,行列式中的相关术语,对角线法则,行列式的元素、行、列、主对角线、副对角线,a11a22a33a12a23a31a13a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,二、三阶行列式,下页,按对角线法则 有,解,46324824,(4)2(3),(4)(2)4,D,12(2),21(3),114,2(2)(2),14,下页,由
4、x25x60解得,解,方程左端的三阶行列式,x25x6,D3x24x189x2x212,x2或x3,结束,采用先选定百位数 再选定十位数 最后选定个位数的步骤,1.2 全排列及其逆序数,引例 用1、2、3三个数字 可以组成多少个没有重复数字的三位数?,解,百位数有3种选法,十位数有2种选法,个位数有1种选法,因为3216,所以可以组成6个没有重复数字的三位数,321,这6个三位数是,123,132,231,213,312,上页,下页,结束,返回,首页,举例,我们把n个不同的对象(称为元素)排成一列 叫做这n个元素的全排列(也简称排列),全排列,由a b c组成的所有排列为,cba,cab,bc
5、a,bac,acb,abc,abb是排列吗?,n个不同元素的所有排列的总数 通常用Pn表示 Pn的计算公式 Pnn(n1)(n2) 321n!,下页,提示,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,以下我们只讨论n个自然数的全排列,下页,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,在排列p1p
6、2 pn中 如果pi的前面有ti个大于pi的数 就说元素pi的逆序数是ti,逆序数的计算,排列的逆序数为tt1t2 tn,举例,在排列32514中,t51,t43,t30,t21,t10,排列32514的逆序数为t010315,标准排列12345的逆序数是多少?,下页,在一个排列中 如果某两个元素的先后次序与标准排列的次序不同 就说有1个逆序 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数,标准排列,在n个自然数的全排列中排列123 n称为标准排列,逆序与逆序数,举例,排列32514的逆序数是5 它是奇排列,标准排列12345的逆序数是0 它是偶排列,逆序数为奇数的排列叫做奇排列 逆序数为偶数的
7、排列叫做偶排列,奇排列与偶排列,下页,1.3 n 阶行列式的定义,观察与想考,为了给出n阶行列式的定义 我们要先研究三阶行列式的结构,上页,下页,结束,返回,首页,观察与想考,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,下页,(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成,三阶行列式的结构,其中p1p2p3是1、2、3的某个排列,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t 其中t为列标排列的逆序数,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数 表示对1、2、3三个数的所有
8、排列p1p2p3取和,下页,n阶行列式的定义,特别规定一阶行列式|a|的值就是a,由n2个数aij (i j1 2 n)构成的代数和,称为n阶行列式 记为,简记为det(aij) 其中p1p2 pn为自然数1 2 n的一个排列 t为这个排列的逆序数 表示对所有排列p1p2 pn取和,在n阶行列式D中 数aij为行列式D的(i j)元,下页,例1 证明行列式,上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积,解,因为它的列标排列为标准排列 其逆序数为0 所以在它前面带有正号,要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零,第一行只能取a11,第二行只能取a22,第三行只能取a33,
9、,第n行只能取ann,这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann,因此,Da11a22a33 ann,下页,解,若记iai ni1 则依行列式定义,(1)ta1na2 n1 an1,其中t为排列n(n1) 21的逆序数 故,t012 (n1),例2 证明n阶行列式,因此,(1)t12 n,结束,1.4 对换,在排列中 将任意两个元素对调 其余的元素不动 就得到另一个排列 这种对排列的变换方法称为对换 将相邻两个元素对换 叫做相邻对换,对换,举例,在排列21354中 对换1与4,排列21354的逆序数是2,经过对换 排列的奇偶性发生了变化,得到的排列是24351,排列24351的逆序数是
10、5,下页,上页,下页,结束,返回,首页,定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性,推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,这是因为 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数 而标准排列是偶排列 因此知推论成立,下页,定理1 一个排列中的任意两个元素对换 排列改变奇偶性,推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数,结束,1.5 行列式的性质,性质1,性质5、性质6,性质2 、性质3、性质4,上页,下页,结束,返回,首页,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT,a11 a1
11、2 a1n,a21 a22 a2n,an1 an2 ann, ,则bij=aji(i, j=1, 2, , n) ,显然 如果,即,下页,性质1 行列式D与它的转置行列式DT相等,由此性质可知 行列式中的行与列具有同等的地位 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立 反之亦然,行列式的转置 将行列式D的行变为列后得到的行列式称为D的转置行列式 记为DT,a11 a12 a1n,a21 a22 a2n,an1 an2 ann, ,即,下页,这是因为 把这两行互换 有DD 故D0,性质2 互换行列式的两行 行列式变号,推论 如果行列式有两行(列)完全相同 则此行列式等于零,下页,推论 行列式中某一
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