第一节数学期望.ppt
《第一节数学期望.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第一节数学期望.ppt(32页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第四章 随机变量的数字特征,在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的全部概率特征也就知道了。,然而,在实际问题中,概率分布一般是较难确定的。而在一些实际应用中,人们并不需要知道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些数字特征就够了。,因此,在对随机变量的研究中,确定某些数字特征是重要的。,这一节,我们先介绍随机变量的数学期望。,在这些数字特征中,最常用的是,期望和方差,第一节 数学期望 (mathematical expectation),本节要点: 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量的函数的数学期望 二维随机变量的函数的数
2、学期望 数学期望的性质,一、离散型随机变量的数学期望,1. 概念的引入,若统计100天,引例 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小赵每天生产的废品数X是一个随机变量。如何定义X的平均值呢?,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品。,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢?,可以想象,若另外统计100天,车工小赵不出废品,出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数不一定是1.27。,怎么办?,这是以频率 为权的加权平均,由频率的稳定性可想到,,在求废品数X的平均值
3、时,用概率代替频率,得平均值为,这是以概率 为权的加权平均,这样得到一个确定的数。我们就用这个数作为随机变量X的平均值 。,则对X作一系列观察(试验),所得X的试验值的平均值也是随机的。,由此引入离散型r.vX的数学期望的定义如下:,对于一个离散型随机变量,若它可能取的值是X1, X2, , 相应的概率为 p1, p2, ,但是,如果试验次数很大,出现Xk的频率会接近于pk,于是可期望试验值的平均值接近,定义4.1 设离散型随机变量X有概率分布 PX=xk=pk , k=1, 2,若级数 绝对收敛,则称此级数之和为 随机变量X的数学期望,简称期望或均值。记为E(X),即,注,(3) 在不会产生
4、混淆的情况下,可以记作EX。,2. 常见的离散型随机变量的数学期望,01分布 X服从参数为p的(0-1)分布,概率分布为,则E(X)=p.,证明:E(X)=0(1-p)+1p=p.,2) 二项分布,设XB(n, p),其概率分布为,则X的数学期望为E(X)=np.,证明:,3) 泊松分布,设 X 服从Poisson 分布,其概率分布为,则X的数学期望为E(X)= .,证明:,X服从几何分布,其概率分布为,PX=k=p(1-p)k-1, k=1, 2, , 0p1,证明:,记q=1- p,求和与求导 交换次序,无穷递缩等比 级数求和公式,4) 几何分布,则X的期望为E(X),定义4.2 设连续型
5、随机变量X有概率密度函数 f (x),若积分 绝对收敛,则,称为X的数学期望。,也就是说,连续型随机变量X的数学期望是X的取值x与概率密度f(x)的乘积在无穷区间上的积分。,二、连续型随机变量的数学期望,常见的连续型随机变量的数学期望,1) 均匀分布,其密度函数为,则X的数学期望为E(X)=(a+b)/2.,证明:,2) 指数分布,密度函数为,则X的数学期望为E(X)=1/ .,证明:,3) 正态分布,则X的数学期望为E(X)= .,证明:,三、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出,设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X的期望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望. 那么应该
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第一节 数学 期望
链接地址:https://www.31doc.com/p-2555452.html