空间知识点复习.doc
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1、庆来学校高中部2011-2012学年下学期复习资料空间几何体的结构、三视图和直观图基础梳理1多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行,上下底面是全等的多边形(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上下底面是相似多边形2旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到3空间几何体的
2、三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到,这种投影下,与投影面平行的平面图形留下的影子,与平面图形的形状和大小是全等和相等的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图4空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是:(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x轴、y轴,两轴相交于点O,且使xOy45或135,已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中平行于x轴、y轴已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的
3、z轴,也垂直于xOy平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z轴且长度不变一个规律三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法 两个概念(1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之,正棱柱的底面是正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形(2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地,各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射
4、影是底面正多边形的中心例题:1下列说法正确的是()A有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D棱台各侧棱的延长线交于一点2用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( C )A圆柱 B圆锥C球体 D圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面3某几何体的三视图如图所示,则它的体积是()A8 B8C82 D.解析圆锥的底面半径为1,高为2,该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积,即V2221228,正确
5、选项为A.4若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是()解析所给选项中,A、C选项的正视图、俯视图不符合,D选项的侧视图不符合,只有选项B符合5一个几何体的三视图如图所示(单位:m)则该几何体的体积为_m3.解析由三视图可知该几何体是组合体,下面是长方体,长、宽、高分别为3、2、1,上面是一个圆锥,底面圆半径为1,高为3,所以该几何体的体积为32136(m3)空间几何体的结构特征【例1】如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是()A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C等腰四棱锥
6、的底面四边形必存在外接圆D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上审题视点 可借助几何图形进行判断解析如图,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成角相等,即A正确;底面四边形必有一个外接圆,即C正确;在高线上可以找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题选B. 三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体,也是重要的几何模型,有些问题可用上述几何体举特例解决空间几何体的三视图【例2】在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则
7、相应的侧视图可以为()审题视点 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥解析由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体,故其侧视图应为D. (1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形(2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用实线表示,挡住的线要画成虚线【训练2】 (2011浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是()解析A中正视图,俯视图不对,故A错B中正视图,侧视图不对,故B错C中侧视图,俯视图不对,故C错,故选D
8、.空间几何体的表面积与体积基础梳理1柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和两种方法(1)解与球有关的组合体问题的方法,一种是内切,一种是外接解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内
9、切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图(2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计算得到高的数值例题:1圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面
10、积是()A4S B2SCS D.S解析设圆柱底面圆的半径为r,高为h,则r ,又h2r2,S圆柱侧(2)24S.2设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线,2Ra.S球4R26a2.3(2011北京)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6C10 D8解析由三视图可知,该几何体的四个面都是直角三角形,面积分别为6,6,8,10,所以面积最大的是10,故选择C.4(20
11、11湖南)设右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.12 B.18C942 D3618解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体,球的直径为3,长方体的底面是边长为3的正方形,高为2,故所求体积为232318.5若一个球的体积为4,则它的表面积为_解析VR34,R,S4R24312.几何体的表面积【例1】一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A48 B328C488 D80审题视点 由三视图还原几何体,把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积解析换个视角看问题,该几何体可以看成是底面为等腰梯形,高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为,所以
12、该几何体的表面积为488.答案C 以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系几何体的体积【例2】如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为()A18 B12 C9 D6审题视点 根据三视图还原几何体的形状,根据图中的数据和几何体的体积公式求解解析该几何体为一个斜棱柱,其直观图如图所示,由题知该几何体的底面是边长为3的正方形,高为,故V339.答案C 以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各元素间
13、的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解几何体的展开与折叠【例3】(2012广州模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC90,CDAB,AB4,ADCD2,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示(1)求证:BC平面ACD;(2)求几何体DABC的体积审题视点 (1)利用线面垂直的判定定理,证明BC垂直于平面ACD内的两条相交线即可;(2)利用体积公式及等体积法证明(1)证明在图中,可得ACBC2,从而AC2BC2AB2,故ACBC,取AC的中点O,连接DO,则DOAC,又平面ADC平面ABC,平面ADC平面ABCAC,DO平面ADC,从而DO平面ABC,D
14、OBC,又ACBC,ACDOO,BC平面ACD.(2)解由(1)可知,BC为三棱锥BACD的高,BC2,SACD2,VBACDSACDBC22,由等体积性可知,几何体DABC的体积为. (1)有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系,哪些变,哪些不变(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题,常选择恰当的母线或棱展开,转化为平面上两点间的最短距离问题空间点、直线、平面之间的位置关系基础梳理1平面的基本性质(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一
15、个平面(3)公理3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)范围:.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5平行公理:平行于同一条直线的两条直
16、线互相平行6等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补两种方法异面直线的判定方法:(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面三个作用(1)公理1的作用:检验平面;判断直线在平面内;由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用:判定两平面相交;作两平面相交的交线;证明多点共线1下列命题是真命题的是()A空间中不同三点确定一个平面B空间中两两相交的三条直线确定一个平面C一条
17、直线和一个点能确定一个平面D梯形一定是平面图形解析空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确2已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若bc,则ab,与已知a、b为异面直线相矛盾. 3下列命题中错误的是()A如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面,平面平面,l,
18、那么l平面D如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面解析对于D, 若平面平面,则平面内的直线可能不垂直于平面,甚至可能平行于平面,其余选项均是正确的4如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A12对 B24对 C36对 D48对解析如图所示,与AB异面的直线有B1C1;CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线24(对)平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是()A三角形 B四边形 C五边形 D六边形
19、审题视点 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线解析如图所示,作RGPQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB交于M,连接MR交BB1于E,连接PE、RE为截面的部分外形同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.截面为六边形PQFGRE. 画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快的确定交线的位置异面直线【例2】如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直
20、线?说明理由审题视点 第(1)问,连结MN,AC,证MNAC,即AM与CN共面;第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下:连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点,MNA1C1.又A1A綉C1C,A1ACC1为平行四边形,A1C1AC,MNAC,A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下:ABCDA1B1C1D1是正方体,B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,D1,B、C、C1,与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立,即D1B与CC1是异面直线 证明两直线为异面直
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