计量经济学重点笔记第九讲.doc
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1、浙江工商大学金融学院姚耀军讲义系列第九讲 单位根、协整与误差修正模型一、单位根过程的定义 如果的数据生成过程是:, 是平稳过程则的数据生成过程被称为单位根过程。我们还可以在上述模型基础上增加截距项(所谓的漂移项)或者时间趋势项,如:上述过程都属于单位根过程。笔记:按照附加预期的菲利普斯曲线理论:通胀率=预期的通胀率-a(失业率-自然失业率)+供给冲击。失业率与自然失业率的差异(即周期性失业率)与供给冲击一般是平稳的。假定人们采取静态预期,即预期通胀率等于过去一年的实际通胀率,则通胀率=过去一年的通胀率+平稳性变量,故基于一些假定我们可以从理论上表明通胀率是一个单位根过程。单位根过程的一个特例是
2、随机游走:,其中是白噪声过程同样,我们可以在上述模型基础上再增加截距项或者时间趋势项。 单位根过程是非平稳过程。以随机游走模型为例,注意到 ,故有:、。显然,随着时间的延伸方差趋于无穷大,因此随机游走属于非平稳过程。图一是对一个随机游走过程的模拟。图一:笔记: 1、有效市场理论认为股票价格应当是一个随机游走过程。在随机游走模型中,是白噪声过程,因此有效市场理论的含义也即是股票价格变动()是不可预测的。按照有效市场理论,股票价格能够及时吸纳消息,因此,如果下一时刻价格与现在价格确实存在差异,那么导致这个价格差异的消息就现在时刻来说是无法预测的,否则,现在价格将马上变动从而使价格差异消失。 2、在
3、财富(预期未来现金流的贴现)给定的情况下,最优的消费计划是现在消费与下一期消费相等(饿一等饱一等显然不是最优)。如果下一期消费与现在的消费确实存在差异,那么导致这个差异的原因(也许是飞来横财)在现在肯定是不知道的,否则现在的消费将作出调整,并做到现在消费与下一期消费相等。按照上述逻辑,消费将是一个随机游走过程。以上是Hall(1978)的消费随机游走理论。二、带漂移的单位根过程与趋势平稳过程:一个比较带漂移的单位根过程是指:,其中是平稳过程。反复迭代有:。在这个表达中,被称为确定性趋势项,而被称为随机趋势项。图二是对一个带漂移的随机游走过程的模拟。图二: 所谓趋势平稳过程是指: , 是平稳过程
4、由上式有:,令,则有:因此有:当时,随时间的变化而变化,因此过程是不平稳的。然而,令,由于,因此过程是平稳的。注意到是过程的长期趋势,而过程是通过剔除过程的长期趋势而获得的,因此被称为趋势平稳过程。图三是对一个趋势平稳过程的模拟。图三:上述两个过程都展现出明显的确定性趋势,但存在重要的区别:1、 单位根过程是差分平稳的,而趋势平稳过程在剔除趋势之后是平稳的;2、 单位根过程不具有均值回复性,而趋势平稳过程具有均值回复性。3、 在回归分析中,如果有变量是趋势平稳过程,则需要在解释变量集中引入时间趋势项。如果注意到这一点,趋势平稳过程基本上不会对传统的计量分析构成威胁。但变量含有单位根往往使传统的
5、计量分析无效。笔记:1、把两个服从随机游走的独立变量基于模拟样本进行回归,Engle & Newbold(1974)发现,在回归结果中,R2很大,t值的绝对值也很大。如果进行通常的显著性检验,则结果表明两变量具有显著的相关关系。注意,我们预先已知道这两个变量是独立的,因此实证结果所表明的相关关系一定是虚假的,此即“伪回归”问题。通常的显著性检验导致了错误的结论,这暗示,此时的t统计量(与F统计量)并不服从标准的t分布(和F分布)。2、判断回归分析是否属于“伪回归”的一个重要经验规则是“R2D.W.”。三、单位根检验(一)根据图形判断如果样本数据表现出持久偏离均值的态势,则初步判断数据生成过程是
6、单位根过程。如果样本数据表现出均值回复的态势,则初步判断数据生成过程是平稳过程或者趋势平稳过程。对于非平稳过程,其样本一阶自相关函数接近于1,然后样本自相函数随着阶数的增加而缓慢衰减。应该注意,这样的非平稳过程包括趋势平稳过程与单位根过程。(二)DF与ADF检验考虑一个AR(1)过程: ,是白噪声过程 模型可以被改写为:其中。 单位根检验等价于检验是否为零。该检验是一个单尾检验,我们不考虑1的情况,因为该情况意味着数据生成过程是爆炸的。建立假设体系:与往常一样,我们利用t统计量来进行检验。然而,在原假设下,此时的t统计量并不服从t分布,而是服从DF分布,为了强调这一点,我们可以把这里的t统计量
7、改称为统计量。如果计算出的值小于临界值(临界值是一个负数),则在某个显著水平下拒绝原假设,反之则不拒绝原假设。上述检验被称为DF检验。应该注意到,我们初始所考虑的是一个AR(1)过程。现在我们考虑一个AR(2)过程: ,是白噪声过程如果你阅读过第八讲附录,你将知道,当时上述过程含有一个单位根,而是过程平稳的必要条件。把上述过程变形,有:令,则有: 现在建立假设体系:并利用统计量进行单位根检验。此时统计量同样服从DF分布。推广:考虑的是一个AR(p)过程,则单位根检验模型是:,是白噪声过程上述检验被称为扩展的DF检验,即ADF检验。在ADF检验中,一个问题是,p为多少呢?p值选择其关键在于,应该
8、使是白噪声过程。笔记:换一个角度考察ADF检验模型。与DF检验模型相比较,ADF检验模型有众多项。这些项的引入就是为了使得误差项是白噪声。考虑模型,其中序列相关。假定服从一个AR(1)过程:,其中是白噪声。当原假设为真()时,有:。可以发现,新模型的误差项是白噪声;同时,新模型中的解释变量包含有原模型被解释变量()的一阶滞后()。推广:当服从一个AR(m)过程时,通过引入(i=1,2,m),新模型的误差项将是白噪声。但一个问题是,为什么要用AR(m)过程来表示误差项?这是因为,即使误差项服从ARMA或者MA过程,但在一定条件下它们都可以被表示成无限阶的AR过程。对于平稳过程而言,这个无限阶AR
9、过程中的系数是收敛于零的。因此,只要m够大,那么AR(m)就是对无限阶AR过程的良好近似。我们可以先选择一个较大的p*值,然后利用通常的t检验来判断所对应估计系数的显著性,如果不显著,则选择p*-1,以此类推。总而言之,最终所确定的p值应该使是显著的。在实践中我们也常常利用一些信息准则来确定p值。(1)SIC(Schwarz information criterion)准则:估计任意模型,记RSS为残差平方和,K为待估计参数个数,T为样本容量,则按照SIC准则,p值的确定应该使SIC最小。(2)AIC(Akaike information criterion)准则:按照AIC准则,p值的确定应
10、该使AIC最小。(3)HQIC(Hannan-Quinn information criterion)准则:按照HQIC准则,p值的确定应该使HQIC最小。利用不同的信息准则可能得到的结果并不一致,Stock & Watson(Second Edition,p561) 建议利用AIC准则确定p值。笔记:理解信息准则。如果仅以残差平方和最小为模型设定的标准,那么纳入更多的解释变量就可以迎合这个标准。然而,这将付出代价自由度降低。因此,在设定模型时存在一个权衡,而SIC与AIC准则不过就是权衡的规则(事实上我们已经涉及到一个规则,即以调整的R2最大为权衡的规则,回忆一下,该规则是否考虑了残差平方和
11、与自由度这两个因素?)。应该注意到,在SIC中,与相乘,而在AIC中,与相乘。一般来说,因此,SIC准则比AIC准则更加重视自由度不足问题,于是根据SIC准则一般会得到更加简约的模型。HQIC准则对自由度不足问题的重视程度介于SIC与AIC之间。上述几个信息准则不仅应用于单位根检验模型的设定,也广泛应用于AR(p)、MA(p)、ARMA(p,q)等模型设定。实践中ADF检验一般具有如下三种检验模型设定。模型的选择是十分重要的,不当的选择将导致检验结论不可靠。问题是,在实践中我们到底应该选择哪一个检验模型呢?规则一:当数据表现出较明显的确定性时间趋势时,选择模型3。模型3可以涵盖两种情况:第一情
12、况是,当时,这是一个趋势平稳过程模型,其样本数据展现出确定性的趋势;第二种情况是,当时,这是单位根过程模型。由于漂移项a的存在,样本数据也将展现出确定性的时间趋势(通过反复迭代,你会发现,漂移项将成为变量t的系数)。笔记:1、当时,由于的存在,变量y将出现二次趋势,除非。一般认为,经济变量具有二次趋势是不可能的,因此,隐含着的假设。故我们可以利用F统计量来检验原假设:,不过此时的F统计量并不服从标准的F分布,参见更高级的教科书。2、换一个角度考虑问题。考虑如下一个过程:,是白噪声过程当时上述过程是一个趋势平稳过程。上述过程的一个变形是:,即有:注意到当时隐含着;。规则二:当数据没有表现出明显的
13、确定性时间趋势时,选择模型2。模型2可以涵盖两种情况:第一情况是:当时,这是一个平稳过程模型。第二种情况是:当时,这是一个单位根过程模型。笔记1、当时,由于的存在,变量y将出现确定性趋势,除非。故我们可以利用F统计量来检验原假设:,同样此时的F统计量并不服从标准的F分布。2、换一个角度考虑问题。考虑如下一个过程:,是白噪声过程当时上述过程是一个期望值为的平稳过程。上述过程的一个变形是:注意到当时隐含着。规则三:模型1基本上不用来作为检验模型。这是因为当时,模型表示一个期望值为零的平稳过程,而经济变量的期望值很少会为零!笔记:如果无法明确判断样本数据是否具有明显的确定性时间趋势,我们可以采用一种
14、序贯检验法,参见较高级的教科书,如Walter Enders(2004)。ADF检验是最流行的单位根检验方法,然而,该方法具有较低的检验势,即很容易不拒绝错误的原假设。很多其他的单位根检验方法,例如DF-GLS法等方法(Stock & Watson(Second Edition,p.650-653),被认为与ADF检验相比具有更高的检验势.当为零的原假设不被拒绝时,我们应该意识到,这或许是因为变量y只含有一个单位根的结果,这也可能是变量含有两个或者两个以上单位根的结果。因此,为了检验变量是否只含有一个单位根,我们应该继续对差分变量进行单位根检验。如果差分变量是平稳的,那么我们认为变量只含有一个
15、单位根。四、协整的定义与经济学含义假设时间序列都属于d阶单整序列I(d),即各时间序列在差分d次后将不再含有单位根。如果一非零的常数向量使得:则称之间存在阶数为(d,b)的协整关系,是协整参数。经济变量的单整阶数往往不会超过2。在实践中经常出现的情况是,都是一阶单整的,因此,如果协整,则:当一些变量都含有单位根时,除非有一种机制把这些变量联系在一起,否则这些变量会不受约束地各自漫游。问题是存在这种机制吗?经济学理论经常表明变量间存在某种长期均衡关系。如果情况确实如此,那么各变量对这种长期均衡关系的偏离就不会持久。变量间所具有的长期均衡关系就是变量间的协整关系。例一:期货价格是对未来现货价格的预
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- 计量 经济学 重点 笔记 第九
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