第三节点集间的距离.ppt
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1、第三节 点集间的距离,第二章 点集,主讲:胡努春,Cantor集,对0,1区间三等分,去掉中间一个开区间, 然后对留下的两个闭区间三等分,各自去掉中间一个开区间, 此过程一直进行下去,最后留下的点即为Cantor集,1.Cantor集,定义:令 称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集,Cantor集的性质,a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集,c. P没有内点,但由Cantor集的作法知,我们要对继续三等分去掉 中间一个开区间,从而 内至少有一点不属于P, 所以x不可能是P的内点。,证明:对任意x P, x必含在“去掉手续 进行到第n次
2、”时留下的2n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中,d. P中的点全为聚点,从而没有孤立点,从而x为P的聚点,当然不为孤立点。,证明:对任意x P , 只要证:,由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中,,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对0,1十等分 二进制小数 相应于 对0,1二等分 三进制小数 相应于 对0,1三等分,说明:对应0,1十等分的端点有两种表示,如 0.2000000 0.1999999 (十进制小数),e. P的势为 (利用二进制,三进制证明),证明思路:把0,1区间中的点都写成三进制小数, 则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点 的全体,从而C
3、antor集为小数位只是0,2的点的全 体,作对应,注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.,Cantor函数 (Cantor集为三等分去掉中间一个开区间,如此过程一直下去),( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1/9 1/3 2/3 1,1/2,1/8,1/4,3/8,5/8,7/8,3/4,如此类似取值一直定义下去,Cantor函数,a.在G=0,1-P的各构成区间上,,c.当 时,规定 称 为0,1 上的Cantor函数。,显然在0,1上单调不减,b.规定,如前图规定:在第n次去掉的2n-1个开区间上依次取值为,Cantor函数在0,1上连续,注:Can
4、tor函数把长度为零的集合 连续拉长成长度为1的集合,否则,若 在x0 (0,1)处不连续, 则开区间 非空,,此区间中的每个数都不属于 的值域, 这与 矛盾.,(端点情形类似说明),2.填满正方形的曲线,注:相应映射 f : 0,1 0,10,1 是满射,但不是单射 如0.12090909090909 与0.029999999999都对应到点 (0.1000000 ,0.2999999 )=(0.09999999 , 0.29999999 ),(各有限小数(除0外)都写成以9为循环的小数) 将填满正方形0,10,1,连续曲线,问:0,1 与0,10,1间不存在连续的一一对应?,0,1 与0,
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