第二节方差及常见分布的期望方差.ppt
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1、下页,1.离散型,2.连续型,3.Y= g(X),Z=g(X,Y),复 习,二维离散型数学期望的计算: 分两步进行,下页,1.离散型,2.连续型,Y= g(X),Z=g(X,Y),复 习,Y= g(X),Z=g(X,Y),下页,数学期望的性质(复习),性质1 E(C)= C ; 其中C为常数,性质2 E(CX)= C E(X),性质3 E(X+Y)= E(X)+E(Y),性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有 E(XY)= E(X)E(Y),推广,(1)E(X1+X2+Xn)= E(X1)+E(X2)+E(Xn),若X1,X2,Xn相互独立, 则 E ( X1 X2 Xn)= E(X1
2、) E(X2) E(Xn),(2)E(C1X1+C2X2+CnXn)= E(C1X1)+E(C2X2)+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+ + CnE(Xn),特别 E(E(X)= E(X),4.2 方 差,0. 方差概念的引入,随机变量的数学期望是一个重要的数学特征,反应了随机变量 取值的平均大小,但只知道随机变量的数学期望是不够的.,引例1:从甲、乙两车床加工的零件中各取件,测得尺寸如下: 甲:8,9,10,11,12; 乙:9.6,9.8,10,10.2,10.4 已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm, 问那一台车床好?,以X甲 ,X乙分别表示甲、乙两车床加
3、工零件的长度. 易得:E(X甲) =E(X乙)10。 虽然甲乙车床加工零件的均值相等,但其零件的质量有显著 差异,甲加工的零件只有件合格,乙加工全合格.,考虑 E(|X-E(X)|) EX-E(X)2,下页,引例2有甲、乙两人射击,他们的射击技术用下表给出.X表示甲击中环数,Y表示乙击中环数,谁的射击水平高?,解:,=9.2(环),=9.2(环),因此,从平均环数上看,甲乙两人的射击水平是一样的,但两人射击水平的稳定性是有差别的。,这表明乙的射击水平比较稳定.,下页,偏离期望平方的期望,定义 设X是随机变量,如果EXE(X)2存在,则称EX-E(X)2为X的方差,记为D(X)即,1. 方差的概
4、念,并称 为X的标准差或均方差记为(X) 。,D(X)=EXE(X)2,下页,2. 方差的实际意义,随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度若 较小,则X取值比较集中,否则,X取值比较分散因此,方差 是刻画X取值分散程度的一个量(波动性大小),其中PX=xk=pk k=1,2,3,.,连续型随机变量,离散型随机变量,3.方差的计算,4. 方差计算公式,公式,下页,= E(X2) - E(X)2,4. 方差计算公式,公式,证明:,D(X)= EX - E(X)2,= EX2 - 2XE(X)+ E(X)2,= E(X2) - 2E(X)E(X)+ E(X)2,例1设随机变量 X(0-
5、1)分布,其概率分布为 PX=1= p,PX=0=q,0p1,p+q=1,求D(X),解:因 E(X)= p, 而 E(X 2)= 12p + 02q = p,,于是 D(X)= E(X 2)- E(X)2,= p - p2 = p q,下页,例2设随机变量X具有概率密度, 求D(X).,所以,解:,下页,或,例3.,解:,下页,因为,从而,下页,5. 常见分布的期望与方差,1) 0 -1分布 概率分布为,E(X)= 1 p + 0 (1-p) = p,2) 二项分布 设随机变量XB(n,p),其概率分布为:,D(X)= E(X2)-E(X)2= p-p2 = p(1-p) = pq,下页,2
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