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1、机械工程测试技术,机械工程学院仪器系 Tel:2786982,第一章 信号描述,第一节 信号分类与描述 第二节 周期信号的频谱 第三节 瞬变非周期信号的频谱,第一节 信号分类与描述,一、信号的分类 1、确定性信号和随机信号 确定性信号:可表示为一个确定的时间函数,因而可确定其任何时刻的量值。 随机信号:具有不能被预测的特性,无法用数学关系式来描述,只能通过统计观察来加以描述的信号。,确定性信号又分为周期信号和非周期信号。 周期信号: 定义:满足下面关系式的信号: x(t)=x(t+nT0) 式中,T0周期。 非周期信号: 定义:不具有周期重复性的确定性信号。 非周期信号又可分成准周期信号和瞬态
2、信号两类。,非周期信号又可分成准周期信号和瞬变非周期信号两类。 准周期信号:由多个具有不成比例周期的正弦波之和形成,或者称组成信号的正(余)弦信号的频率比不是有理数 。 瞬变非周期信号:或在一定时间内存在,或随着时间的增长而衰减至零的信号。,锤击物体的力信号图 指数衰减振荡信号,三种瞬变非周期信号,2、连续信号和离散信号 分类依据: 自变量(即时间t)是连续的还是离散的 。 信号的幅值是连续的还是离散的 ; 连续信号: 自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号 ; 自变量是连续、但幅值为离散的信号,则称为量化信号。 离散信号: 信号的自变量为离散值、但其幅值为连续值时,则称该信号为被采样信号。
3、信号的自变量及幅值均为离散的,则称为数字信号 ;,连续信号 离散信号,3.因果信号与非因果信号 若信号x(t) 在t=0作为初始观察时刻,有x(t)0,在该输入信号作用下,因果系统的零状态响应只能出现在 的时间区间上,故把从时刻开始的信号称为因果信号,否则为非因果信号。,4、能量信号和功率信号 能量信号: 例如: 在右图所示的电路中,x(t)表示电压, 瞬时功率P(t)=x2(t)/R;若R=1, P(t)=x2(t)。 瞬时功率对时间的积分即为能量。 定义:当x(t)满足关系式 则称信号x(t)为有限能量信号 ,简称能量信号。 矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。,功率信号: 若信号在区间
4、(, )的能量是无限的 但它在有限区间(t1,t2)的平均功率有限,即 亦即信号具有有限的(非零)平均功率,则称信号为功率有限信号,简称功率信号。,二、信号的时域描述和频域描述 时域描述:以时间为独立变量;反映信号的幅值随时间变化的关系; 频域描述:以频率为独立变量,由信号的时域描述通过适当方法变换得到;反映信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系。 图中周期方波的傅里叶级数展开式:,上式可改写为:,式中0=2/T0。0称为基波频率,简称基频。,以为独立变量,此式即为该周期方波的频域描述。 在信号分析中,将组成信号的各频率成分找出,按序排列,得出信号的“频谱”。 若以频率为横坐标、分别以幅值
5、或相位为纵坐标,便分别得到信号的幅频谱和相频谱。图19。,图19,信号的频谱一般是以频率为横坐标、以幅值或相位为纵坐标分别描述,信号的幅值频率为幅频谱,相位频率为相频谱。每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱,所以每一个信号在频域描述时都要用幅频谱和相频谱来描述。,表11为两个周期方波及其幅频谱、相频谱。时域中两方波只是相对平移T0 /4 , 其余不变。可以看出,幅频谱相同,但相频谱不同,平移使各频率分量产生了 相角。,表11的说明: 每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱,因此,在频域中每个信号都需要同时用幅频谱和相频谱描述才是完整的。,为什么要对信号进行频域描述: 信号的时域描述反映了信号瞬时值随
6、时间变化的情况,频域描述反映了信号的频率组成及其幅值、相角的大小。 为解决不同问题,需掌握信号不同方面的特征,因而可采用不同的描述方式。例如:评定机器振动烈度(时域描述)和寻找振源(频域描述)。 两种描述方法能互相转换,而且包含同样的信息量。,例如某大型水电站在某一发电工况下,其厂房产生强烈振动。按理论分析和经验估计,振源可能来自水轮机或发电机的机械振动,或来自流道某一部份(如引水管、涡壳、导叶、尾水管)的水体振动。为查找振源及振源向厂房传递的路径,在水轮发电机组和厂房的多处安置拾振器,在流道多处安置压力传感器。试验时,用多台磁带记录仪同步记录近百个测点的振动及压力波动。试验完后,对记录的信号
7、进行频谱分析,查找出强振振源来自导叶与尾水管间的局部水体共振。,第二节 周期信号的频谱 将周期信号分解为傅立叶级数(简称傅氏级数(Fourier series),在频域中认识信号的特征提供了重要手段 信号的频谱一般是以频率为横坐标、以幅值或相位为纵坐标分别描述,信号的幅值频率为幅频谱,相位频率为相频谱。每个信号都有其特有的幅频谱和相频谱,所以每一个信号在频域描述时都要用幅频谱和相频谱来描述。,一、傅里叶级数的三角函数展开式 在有限区间上,一个周期信号x(t)当满足狄里赫利条件时可展开成傅里叶级数: 式中,,(1-7),信号x(t)的另一种形式的傅里叶级数表达式: 式中, An称信号频率成分的幅
8、值, 称初相角。,n1,2, ,讨论: 式中第一项a0为周期信号中的常值或直流分量 ; 从第二项依次向下分别称信号的基波或一次谐波、二次谐波、三次谐波、n次谐波 ; 将信号的角频率0作为横坐标,可分别画出信号幅值An和相角 随频率0变化的图形,分别称之为信号的幅频谱图和相频谱图。 由于n为整数,各频率分量仅在n0的频率处取值,因而得到的是关于幅值An和相角 的离散谱线。 周期信号的频谱是离散的! 例题11,求图16中周期三角波的傅里叶级数。,由奇次余弦波分量叠加构成,各谐波幅值按基波幅值的1/n2比例衰减。由上表明,周期信号的频谱由不连续线条组成,每个线条代表一个谐波分量,且与基频成比例关系。
9、,二、傅里叶级数的复指数函数展开式 由欧拉公式可知 : 代入式(17)有: 令,则,或,这就是傅里叶级数的复指数展开形式。,(1-15),求傅里叶级数的复系数Cn,一般情况下,Cn是复数,可写成,其中,绘制复指数形式的频谱: 幅频谱图和相频谱图 实频谱图和虚频谱图,注意:复指数函数形式的频谱为双边谱(幅频谱为偶函数,相频谱为奇函数),三角函数形式的频谱为单边谱,二者的量值关系:,例:画出余弦、正弦的实虚部频谱图。,故余弦只有实频谱图,与纵轴偶对称。正弦只有虚频谱图,与纵轴齐对称频谱。,周期信号的频谱的特点: 周期信号的频谱是离散谱; 周期信号的谱线仅出现在基波及各次谐波频率处; 各频率分量的谱
10、线高度表示该谐波的幅值或相位角。幅值谱中各频率分量的幅值随着频率的升高而减小,频率越高,幅值越小。在频谱分析中,没必要取次数过高的谐波分量。,三、周期信号的强度表述 峰值 峰峰值 均值 绝对均值周期信号全波整流后的均值 有效值:信号的均方根值 平均功率是信号的均方值也是 有效值的平方,第三节 瞬变非周期信号的频谱,一、傅里叶变换与连续频谱 设x(t)为(-T0/2,T0/2)区间上的一个周期函数。它可表达为傅里叶级数的形式: 式中 将cn代入上式得,当T0时,区间(-T0/2,T0/2)变成(-, ),另外,频率间隔=0=2/T0变为无穷小量,离散频率n0变成连续频率 。 将上式中括号中的积分
11、记为X(),则有,(126),(127),(125),在数学上,称X()为x(t)的傅里叶变换, x(t)为X()的傅里叶逆变换,记为 把2f代入式(125),则1-26和127变为,(1-28),(1-29),这样就避免了傅里叶变换中出现1/2,简化了公式,且有,非周期函数x(t)存在傅里叶变换的充分条件是x(t)在区间(-, )上绝对可积,即 但上述条件并非必要条件。因为当引入广义函数概念之后,许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。,小结: 从式(129)可知,一个非周期函数可分解成频率f连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2f的系数,决定着信号的振幅和相位。
12、X(f)或X()为x(t)的连续频谱。 由于X(f)一般为实变量f的复函数,故可将其写为 将上式中的 称非周期信号x(t)的连续幅值谱, 称x(t)的连续相位谱。 例题13,求矩形窗函数的频谱。,求该函数的频谱:,函数的幅频谱和相频谱分别为,二、傅里叶变换的基本性质,奇偶虚实性,线性叠加性 时-频对称性,它表明傅立叶变换与傅立叶逆变换之间存在对称关系,即信号的波形与信号频谱函数的波形有相互置换关系。利用这个性质,可以根据已知的傅立叶变换,得出相应的变换对,对称性举例,尺度改变性质举例 a) k=1 b) k=0.5 c) k=2,时移和频移特性,卷积特性,微分和积分特性,7.尺度变换特性,三、
13、几种典型信号的频谱 1. 函数及其频谱 (1)定义 在时间内矩形脉冲S(t) ,其面积为1,当 0 时, S(t)的极限称为函数,也称为单位脉冲函数。函数用标有1的箭头表示。 显然(t)的函数值和面积(通常表示能量或强度)分别为,(2)采样性质 若f(t)为一连续信号,则有 f(0)(t)的函数值无穷大,强度为f(0)。 在(, )积分,有,对于有延时t0的函数(t-t0),有,(3)与其他函数的卷积,x(),(4)频谱 对(t)取傅里叶变换 可见函数具有等强度、无限宽广的频谱,这种频谱 通常称为“均匀谱”。,利用对称、时移、频移性质,还可以得到以下傅里叶变换对。,2. 正、余弦函数的频谱密度函数,余弦函数的频谱 利用欧拉公式,余弦函数可以表达为: 其傅里叶变换为,正弦函数的频谱 同理,利用欧拉公式及其傅里叶变换有:,等间隔的周期单位脉冲序列函数称为梳状函数,表达式为: 式中 Ts 为周期,n为整数,n=0,1, 2,3, 。因为周期脉冲序列函数为周期函数,所以可以写成傅里叶级数的复指数函数形式,3. 周期单位脉冲序列的频谱,因此,有周期单位脉冲序列函数的傅里叶级数的复数表达式: 根据式,可得周期单位脉冲序列函数的频谱, 周期单位脉冲序列的频谱仍是周期脉冲序列。时域周期为 ,频域周期则为 ;时域脉冲强度为1,频域脉冲强度则为 。,狄里赫利(Dirichlet)充条件,
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