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1、二次函数的图象和性质(1),(1)观察y= x2的表达式,选 择适当的x值,并计算相应 的y值,完成下表:,(2)在直角坐标系中描点 (按x的值从小到大,从左到右描点),(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x2的图象 (能用直线连接吗?),议一议,对于二次函数y=x2的图象,,(1)你能描述图象的形状吗?,(2)图象与x轴有交点吗?,如果有,交点坐标是什么?,(3)当x0时,随着x值的增大,,y的值如何变化?当x0时呢?,(4)当x取什么值时,y的值最小?,最小值是什么?你是如何知道的?,(5)图象是轴对称图形吗?,如果是,它的对称轴是什么?,请你找出几对对称点,并与同伴进行交流,可以看
2、出,二次函数y=x2的图像是一条曲线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的 路线,只是这条曲线开口向上。这条曲线叫做抛物线y=x2 。实际上,二次函数的图像都是抛物线,它们的开口或者向上或者向下。一般的,二次函数y=ax2+bx+c的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c,二次函数y=x2的图象是抛物线.,(1)抛物线的开口向上; (2)它的图象有最低点,最低点的坐标是(0,0); (3)它是轴对称图形,对称轴是y轴。在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大。,(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最低点,坐标
3、为(0,0); (5)因为图像有最低点,所以函数有最小值,当x=0时,y最小0.,在同一直角坐标系中,画出函数y= x2,y=2x2的图象。,0,2,2,8,8,0,2,2,8,8,-1,当a0,图象开口向上 顶点是抛物线的最低 点,a越大开口越小 反之越大,对称轴,做一做,二次函数的图象y=-x是什么形状? 先想一想,然后作出它的图象,它与二次函数y=x的图象有什么关 系?与同伴交流。,总结: 二次函数y=-x2的图象是抛物线.,(1)抛物线的开口向下; (2)它的图象有最高点,最高点的坐标是(0,0); (3)它是轴对称图形,对称轴是y轴。在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y
4、随x的增大而减少。,(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的顶点,同时也是图象的最高点,坐标为(0,0); (5)因为图像有最高点,所以函数有最大值,当x=0时,y最大0.,探究,画出函数y=-x2,y=- x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。,1,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-8,-6,-4,-2,2,4,6,8,y,x,0,y=- x2,y=-x2,y=-2x2,当a0时,图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大。,对称轴,(1)说出这两个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标,(2)抛物
5、线y= x2,当x 时,抛物线上的点都在x轴上方;当x0时;曲线自左向右逐渐 它的顶点是图像的最 点。,(3)函数y=-2x2,对于一切x的值,总有函数值y 0,当x 0时, y随x的增大而 ;当x 时,y有最 值,是,10,8,6,4,2,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-10,-5,5,10,x,y,y=x2,y=-x2,y=x2与y=-x2关于 x轴对称,观察函数y=x2、 y=-x2、 y= x2、 y=-2x2的图像,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点,总结:,二次函数y=ax2(a0)的图像是一条抛物线,它的对称轴是y轴,顶点是坐标原点(0,0),当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,a越大,抛物线的开口越小;在对称轴的左边,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大。顶点是抛物线的最低点,此时,函数y取得最小值0.,当a0时,抛物线y=ax2的开口向下,a越大,抛物线的开口越大;在对称轴的左边,曲线自左向右上升,函数y随x的增大而增大;在对称轴的右边,曲线自左向右下降,函数y随x的增大而减小。顶点是抛物线上位置最高的点,此时,函数y取得最大值0.,
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