第二部分连续体平面应力有限元分析.ppt
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1、连续体平面应力有限元分析,杨建国 哈尔滨工业大学 先进焊接与连接国家重点实验室,第一部分 虚功原理,第一部分 虚功原理,问题的提出: 基于弹簧系统的一些假设条件,并基于那些条件解决了诸如弹簧系统这样的弹性体的应力分析问题,同时应用以上条件对于形状简单的一维连续弹性体在简单载荷作用下的应力及应变成功的进行了分析。 但是实际研究过程中会存在很多承受复杂受力状态的复杂的结构,此时基于以上的条件则不能给出相应的解答。这样就需要一些其他的条件来完成分析,如基于弹性力学以及势能理论的部分方法来建立连续弹性体内部的应力与应变关系。,第一部分 虚功原理,变形体的虚功原理可以叙述如下:变形体中满足平衡的力系在任
2、意满足协调条件变形状态上做得虚功等于零,即体系的外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚功原理是虚位移原理和虚力原理的总称。一般的有限元分析中经常采用的是虚位移原理,因而下面提到的虚功原理,在没有特定说明的情况下指的就是虚位移原理的虚功原理。,第一部分 虚功原理,P受到了4个力的作用,处于平衡状态,由于处于平衡状态,那么在任意方向上的这4个力的分量和都应该为零。,第一部分 虚功原理,力系处于平衡状态,所以这4个力在水平方向的分量和为零,即:,第一部分 虚功原理,假定让点P在水平方向移动一个非常小的位移u,由于这个位移很小,所以与之相关的四个力不发生变化。这个非常小的位移u称之为虚位移。由于发生这个
3、虚位移的过程中力没有发生变化,也就是水平方向的应力分量也没发生变化,所以这个过程中做得功为 :,第一部分 虚功原理,由于发生这个虚位移的过程中力没有发生变化,也就是水平方向的应力分量也没发生变化,依旧满足公式分量的合力为0,因而Vu0。也就是说在平衡力系中,在虚位移条件下,系统做的功为零,实际上这个位移的方向可以是任意的,只不过相应的应力分量也要与之一致而已,那是同样满足以上的结果。这个关系也可以表述为:一个点处于力学平衡状态的充要条件为该点在任何虚位移下做的功都为零。 如果这几个力中即有内力又有外力,则体系的外力的虚功与内力的虚功之和等于零。,第二部分 连续体的平面应力 有限单元分析,2.1
4、 位移与节点坐标的关系,对于弹簧系统和铰接的杆系统,有限元分析过程中的主要结果都可以直接获得,即可以直接从有限元分析中获得诸如节点力、节点位移等信息,这对于分析过程来说已经足够了,但是对于二维或者三维连续体问题,一般的力学分析是希望获得连续体内部的应力应变场,此时就需要建立外载荷与结构的应力应变的关系。,2.1 位移与节点坐标的关系,分析过程也是首先实现连续体的单元离散,各个单元通过节点连接在一起,之后我们就需要建立每个单元相关的节点力与节点位移之间的单元刚度矩阵,最后再将所有的单元的刚度矩阵组装到一起形成一个整体刚度矩阵(此过程与弹簧系统的组装过程类似)。从而建立了整个结构的节点力与节点位移
5、之间的关系,再通过载荷边界条件、位移边界条件求解这个矩阵方程,获得每个节点的位移。在获得了节点位移之后,可以通过力学理论方法获得单元的弹性应变,进而获得单元的应力结果。如果实现了上面的整个计算过程,则能够获得在外载荷的作用下的结构的应力分布状态。,2.1 位移与节点坐标的关系,网格划分原则 a) 在存在应力应变集中的区域应该选择尽量细的单元,这样能够使得该区域的计算结果更接近实际; b) 尽量保证良好的单元的形状的,一般来说应该控制单元的长宽比,通常建议长宽比在3以内,最多不要超过10。因为单元的形状过于奇异,将导致计算无法收敛。从而无法获得相关的结果。,2.1 位移与节点坐标的关系,2.1
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