第二部分随机变量.ppt
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1、1,第二章:随机变量,上节课内容 概率理论 概率公理及推论 随机事件之间的关系:条件概率、独立/条件独立、贝叶斯公式 本节课内容 随机变量及其分布 随机变量变换 常见分布族 多元随机向量的分布 联合分布、边缘分布、条件分布、独立,2,随机变量,统计推断是与数据相关的。随机变量就是将样本空间/随机事件与数据之间联系起来的纽带 随机变量是一个映射 ,将一个实数值 赋给一个试验的每一个输出 例2.2:抛10次硬币,令X()表示序列中正面向上的次数,如当 = HHTHHTHHTT,则 X() = 6。,3,随机变量的概率描述,事件的概率 随机变量的概率描述 给定一随机变量X及实数子集A,定义 例2.4
2、:抛2次硬币,令X表示正面向上的次数,则,其中X表示随机变量,x表示X可能的取值,4,随机变量的分布函数,随机变量X的累积分布函数 (cumulative distribution function, CDF) 定义为 CDF是一个非常有用的函数:包含了随机变量的所有信息。 CDF的性质:略 (见书),有时记为F,5,例:随机变量的CDF,例2.6:公正地抛硬币2次,令X表示正面向上的次数,则 CDF 右连续、非减函数 对所有实数x都有定义 虽然随机变量只取0、1、2,6,离散型随机变量的概率函数,离散型随机变量的概率函数 (probability function or probabilit
3、y mass function, pmf)定义为 对所有的 CDF与pmf之间的关系为:,有时记为 f,7,例:离散型随机变量的pmf,例2.10:公正地抛硬币2次,令X表示正面向上的次数,则 概率函数为:,8,连续型随机变量的概率(密度)函数,对连续型随机变量X,如果存在一个函数 ,使得对所有的x, ,且对任意 有 则函数 被称为概率密度函数 (probability density function, pdf)。 CDF与pdf之间的关系: 在所有 可微的点x,则,注意: 是可能的,9,例:连续型随机变量的CDF和pmf,例2.12:设X有PDF: 显然有 有该密度的随机变量为(0,1)上
4、的均匀分布:Uniform(0, 1),即在0和1之间随机选择一个点。 其CDF为:,10,分位函数 (quantile function),令随机变量X的CDF为F,CDF的反函数或分位函数(quantile function)定义为 其中 。若F严格递增并且连续,则 为一个唯一确定的实数x,使得 。 为增函数 中值(median): 一个很有用的统计量,对噪声比较鲁棒,11,随机变量的变换,X:老的随机变量, Y:新的随机变量, 离散:,12,离散型随机变量的变换,例2.45:假设 Y的取值比X少,因为该变换不是一一映射。,13,连续型随机变量的变换,CDF方法 变换的三个步骤 对每个y,
5、计算集合 计算CDF PDF为,14,连续型随机变量的变换,当r为单调增函数/减函数,定义r的反函数 ,则 当X、Y存在一一映射时,上述结论仍可用Jacobian方法 分区间:在每个 区间内为单调函数,可分区间利用上述结论,15,16,例:连续型随机变量的变换,例2.46: 则 令 则 或直接用Jacobian方法,17,例:连续型随机变量的变换,例:概率积分变换 X有连续CDF ,定义随机变量Y为 ,则Y为0,1上的均匀分布,即 对随机数产生特别有用(Chp2第15题),18,0.5,1.0,0,19,常见分布族,离散型随机变量 Ch2, p25 均匀(Uniform)分布 贝努利(Bern
6、oulli)分布 二项(Binnomial)分布 超几何(HyperGeometric)分布 几何(Geometric)分布 泊松(Possion)分布 连续型随机变量 Ch2, p27 均匀(Uniform)分布 正态(Normal)分布 Gamma分布 Beta分布 分布 指数(Exponential)分布,20,常见分布族,每个分布族 pdf/pmf形式 参数 典型应用 均值、方差,21,正态分布,亦称高斯分布, : 位置(location)参数 : 尺度(scale)参数 如图像处理中的多尺度分析,22,正态分布,最重要的分布之一 在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 如考
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- 第二 部分 随机变量
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