第五微分方程模型.ppt
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1、第五章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 5.6 人口预测和控制 5.7 烟雾的扩散与消失 5.8 万有引力定律的发现 动态 模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分 方程 建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 5.1 传染病模型 问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段 按照
2、传播过程的一般规律, 用机理分析方法建立模型 建模分析 影响因素:社会,经济,文化,风俗习惯 直接因素:传染者的数量及在人群中的分 布、被传染者的数量、传播形式、传播能 力、免疫能力 建模时不能考虑全部因素,应该抓住关键 因素。 已感染人数 (病人) i(t) 1每个病人每天有效接触(足以使人致病) 人数为. 2 得病后经久不愈,且感染期不 会死亡。 模型1 假设 若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加 必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人) 建模 ? 模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 假设 1)总人数N不变,病人和健康 人 的 比例分别为 2)每个病人每天有效接触人数
3、为, 且 使接触的健康人致病 3)得病后经久不愈,不会在感染期死亡 建模 日 接触率 SI 模型 模型2 1/2 tm i i0 1 0 t tm传染病高潮到来时刻 (日接触率) tm Logistic 模型 病人可以治愈! ? t=tm, di/dt 最大 模型3 传染病无免疫性病人治愈成 为健康人,健康人可再次被感染 增加假设 SIS 模型 3)病人每天治愈的比例为 日治愈率 建模 日接触率 1/ 感染期 一个感染期内每个病人的 有效接触人数,称为接触数。 模型3 i0 i0 接触数 =1 阈值 感染期内有效接触感染的 健康者人数不超过病人数 1-1/ i0 模型2(SI模型)如何看作模型
4、3(SIS模型)的特例 i di/dt 0 1 1 0t i 1 1-1/ i 0t 1 di/dt 1/ i(t)先升后降至0 P2: s0 0 3) 经济增长的条件 劳动力增长率小于初始投资增长率 每个劳动力的产值 Z(t)=Q(t)/L(t)增长 dZ/dt0 3) 经济增长的条件 5.3 正规战与游击战 战争分类:正规战争,游击战争,混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少,因增援而增加 战斗力与射击次数及命中率有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例 第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 一般模型 每
5、方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为u(t), v(t) f, g 取决于战争类型 x(t) 甲方兵力,y(t) 乙方兵力 模型 假设 模型 正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力 双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员 假设没有增援 f(x, y)=ay, a 乙方每个士兵的杀伤率 a=ry py, ry 射击率, py 命中率 0 正规战争模型 为判断战争的结局,不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系 平方律 模型 乙方胜 游击战争模型双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加
6、忽略非战斗减员 假设没有增援 f(x, y)=cxy, c 乙方每个士兵的杀伤率 c = ry py ry射击率 py 命中率 py=sry /sx sx 甲方活动面积 sry 乙方射击有效面积 0 游击战争模型 线性律 模型 0 混合战争模型甲方为游击部队,乙方为正规部队 乙方必须10倍于甲方的兵力 设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 5.4 药物在体内的分布与排除 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量 ) 血药浓度需保持在一定范围内给药方案设计 药物在体内吸收、分布和排除过程 药物动力学 建立房室模型药物动力学的基本
7、步骤 房室机体的一部分,药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数),在房室间按一定规律转移 本节讨论二室模型中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等) 中心室 周边室 给药 排除 模型假设 中心室(1)和周边室(2),容积不变 药物在房室间转移速率及向体外排除速率 ,与该室血药浓度成正比 药物从体外进入中心室,在二室间 相互转移,从中心室排出体外 模型建立 线性常系数 非齐次方程 对应齐次 方程通解 模型建立 几种常见的给药方式 1.快速静脉注射 t=0 瞬时注射剂量D0 的药物进入中心室,血 药浓度立即为D0/V1 给药速率 f0(t) 和初始条件 2.恒速静脉滴注 t T, c1(
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