第五章内积空间.ppt
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1、第五章 內積空間,5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底:Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析,5 - 2,5.1 Rn上之長度與點積,長度 (length) 在Rn上向量 的長度可能表示為,注意:向量的長度也可以稱為範數 (norm),5 - 3,範例 1: (a)在R5上, 的長度 (b)在R3上, 的長度,(因為長度為1,所以v是單位向量),5 - 4,Rn的標準單位向量 (standard unit vector),範例: R2上的標準單位向量: R3上的標準單位向量:,5 - 5,定理 5.1:純量乘積的長度 令v為Rn上的向量,而
2、c是一純量,則,證明:,5 - 6,定理 5.2:在v方向上的單位向量 若v是Rn中一個非零的向量,則下列向量 表示長度為1且與v同方向。向量u可稱為在v方向上的單位向量 (unit vector in the direction of v),5 - 7,注意: (1) 向量 可稱為在v方向上的單位向量 (unit vector in the direction of v) (2) 這個在v方向上找單位向量的過程稱為單範化 (normalizing)向量v,5 - 8,範例 2:求單位向量 求在 方向上的單位向量,並證明其長度為1,為單位向量,解:,5 - 9,兩個向量間的距離 (distan
3、ce) 在Rn上u與v兩個向量間的距離為,注意:距離的性質 (1) (2) 若且唯若 (3),5 - 10,範例 3:求兩向量間的距離 兩向量 與 間的距離為,5 - 11,Rn的點積 (dot product) 在Rn上 與 的點積為,範例 4:求兩向量間的點積 兩向量 與 間點積是,5 - 12,定理 5.3:向量點積的性質 若u, v與w為Rn上的向量且c為一純量, 則以下的性質成立 (1) (2) (3) (4) (5) , 此外 若且唯若,5 - 13,歐基里德n維空間 (Euclidean n-space) Rn被定義為所有有序n項實數對的集合。當Rn結合了 向量加法、純量乘積、向
4、量長度與點積這些標準運 算後所構成的向量空間,我們稱為歐基里德n維空間,5 - 14,解:,範例 5:求點積,求解下列問題,; (b) ; (c) ; (d) ; (e),5 - 15,範例 6:使用點積的性質 已知,解:,求解,5 - 16,定理 5.4:科西 - 舒瓦茲不等式(Cauchy - Schwarz inequality) 若u與v為Rn上的向量,則 ( 代表 的絕對值),範例 7:科西 - 舒瓦茲不等式的例子 用 與 來證明科西 - 舒瓦茲 不 等式,解:,5 - 17,注意: 零向量與其他向量的夾角並沒有被定義,Rn上兩個非零向量的夾角 (angle),5 - 18,範例 8
5、:求兩向量間的夾角,解:,u與v是反向的,5 - 19,正交 (orthogonal) Rn上的兩個向量u與v為正交 若,注意: 零向量 0 與任何向量都成正交,5 - 20,範例 10:求正交向量 求Rn中與 成正交的所有向量,5 - 21,定理 5.5:三角不等式 (triangle inequality) 若u與v為Rn上的兩個向量,則,證明:,注意: 三角不等式的等號成立若且唯若u與v為同方向,5 - 22,定理 5.6:畢氏定理 (Pythagorean theorem) 若u與v為Rn上的兩個向量,則u與v為正交若且唯若,5 - 23,點積與矩陣乘積,用一個nx1的行矩陣來表示在R
6、n上向量,5 - 24,摘要與復習 (5.1節之關鍵詞),length: 長度 norm: 範數 unit vector: 單位向量 standard unit vector : 標準單位向量 normalizing: 單範化 distance: 距離 dot product: 點積 Euclidean n-space: 歐基里德n維空間 Cauchy Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式 angle: 夾角 triangle inequality: 三角不等式 Pythagorean theorem: 畢氏定理,5 - 25,5.2 內積空間,(1) (2) (3)
7、 (4) 且 若且唯若,內積 (inner product) 令u, v與w為向量空間V的向量且c是任何純量。V上的內積是一個函數,其將每一向量對u與v對應到一個實數並且滿足下列公理,5 - 26,注意: 具有內積的向量空間V稱為內積空間(inner product space),注意:,向量空間: 內積空間:,5 - 27,範例 1: Rn上的歐基里德內積 說明Rn上的點積符合內積的四個公理,5 - 28,範例 2:Rn上的另一種內積 證明下列式子符合R2的內積定義,解:,5 - 29,5 - 30,範例 3:一個非內積的函數 證明下列式子不是R3的一個內積,5 - 31,定理 5.7:內積
8、的性質 令u, v與w為內積空間V的向量且c是任何實數 (1) (2) (3),u的範數(norm)或長度(length),注意:,5 - 32,u與v的距離 (distance),兩個非零向量 u與v的夾角 (angle),正交 (orthogonal),若 ,則稱u與v為正交,5 - 33,注意: (1) 若 則稱其為單位向量(unit vector) (2),5 - 34,範例 6:求內積,為一內積函數,解:,5 - 35,5 - 36,定理 5.8: 若u與v為內積空間V的向量 (1) 科西 - 舒瓦茲不等式: (2) 三角不等式: (3) 畢氏定理:u與v成正交若且唯若,定理 5.5
9、,定理 5.6,定理 5.4,5 - 37,正交投影 (orthogonal-projection) 令u與v為內積空間V上的兩個向量且 , 則u正交投影到v可表示為,注意: 若 (v為單位向量), 則u正交投影到v的式子可簡寫成,5 - 38,範例 10:求R3上的正交投影 用R3上的歐氏內積求 的正交投影,解:,5 - 39,定理 5.9:正交投影與距離 令u與v為內積空間V上的兩個向量且 ,則,5 - 40,摘要與復習 (5.2節之關鍵詞),inner product: 內積 inner product space: 內積空間 norm: 範數 distance: 距離 angle: 夾
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