第八部分位移法.PPT
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1、1,第八章 位 移 法,2,位 移 法,第八章 位 移 法,81 概述,82 等截面直杆的转角位移方程,83 位移法的基本未知量和基本结构,84 位移法的典型方程及计算步骤,85 直接由平衡条件建立位移法基本方程,86 对称性的利用,3,81 概 述,力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用, 位移法建立于上世纪初。,力法,位移法,以某些结点位移为基本未 知量,由平衡条件建立位移法方程,求出 位移后再计算内力。,以多余未知力为基本未知量, 由位移条件建立力法方程,求出内力后再 计算位移。,位 移 法,返 回,4,位移法的基本概念,以图示刚架为例予以说明,1,2,3
2、,EI=常数,P,刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。,Z1,Z1,在刚结点1处发生转,角Z1,结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁(见图)。,1,P,Z1,2,其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理, 13杆可以视为一根一端 固定另一端铰支的梁(见图)。,1,3,Z1,而 在固定端1处发生了转角Z1,其内 力同样由力法求出。,可见,在计算刚架时,如果以 Z1为基本未知量,设法首先求出Z1, 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。,Z1,位 移 法,返 回,5,由以上讨论可知,在位移法中须解 决以下问题:,(1)用力法算出单跨
3、超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。,(2)确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。,(3)如何求出这些位移。,下面依次讨论这些问题。,位 移 法,返 回,6,82 等截面直杆的转角位移方程,本节解决第一个问题。,用位移法计算超静定刚架时,每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时,要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便,首先推导杆端弯矩公式。,如图所示,两端固定的等截 面梁,,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,除受荷载及温度变化外,两支座还发生位移:转角 A、 B
4、及侧移AB 。,转角A、 B顺时针为正, AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。,在位移法中,为了计算方便,弯矩的符号规定如下:弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正)。,图中所示均为正值。,MAB,A,MBA,B,返 回,位 移 法,7,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,用力法解此问题,选取基本结构如图。,P,t1,t2,X1,X2,X3,多余未知力为X1、X2。,力法典型方程为,11X1+12X2+ 1P+ 1t+ 1=A 21X1+22X2+ 2P+ 2t +2=B,为计算系数和自由项,作,、,、MP图。,图,1,图,1,MP图,XA,XB,由图乘
5、法算出:,,,,,AB,AB,由图知,这里,AB称为弦转角,顺时针为 正。,1t、 2t 由第七章公式计算。,位 移 法,返 回,8,将以上系数和自由项代入典型方程,可解得,X1=,X2=,令,称为杆件的线刚度。此外,用MAB代替X1,用,MBA代替X2,上式可写成,MAB= 4iA+2i B,MBA= 4i B +2i A,(81),式中,(82),是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩,称为固端弯矩。,位 移 法,返 回,9,MAB= 4iA+2iB _,MBA= 4iB +2iA_,(81),式(81)是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式,通常 称为转角位移方程。,对
6、于一端固定另一端简支的等截面梁(见图),,其转角位移方程 可由式(81)导出,设B端为铰支,则因,A,B,EI,P,t1,t2,l,MBA= 4i B +2i A_,=0,可见,B可表示为A、AB的函数。将 此式代入式(81)第一式,得,MAB=3iA,(83)(转角位移方程),式中,(84)(固端弯矩),杆端弯矩求出后,杆端剪力便不难由平衡条件求出。,有,位 移 法,返 回,10,83 位移法的基本未知量和基本结构,在位移法中,基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时,应首先确定独立的角位移和线位移数目。,(1) 独立角位移数目的确定,由于在同一结点处,各杆端的转角都是相等的,因此每一个
7、 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处,其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角,由上节可 知,它们不是独立的,可不作为基本未知量。,1.位移法的基本未知量,这样,结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。,例如图示刚架,1,2,3,4,5,6,独立的结点角位移 数目为2。,位 移 法,返 回,11,(2)独立线位移数目的确定,在一般情况下,每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形,其弯曲变形也是微小的,于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变,故每一受弯直杆就 相当于一个约束,从而减少了结点的线位移数目,故结点只有一 个独立线位移(侧
8、移)。例如(见图a),1,2,3,4,5,6,4、5、6 三个固定 端 都是不动的点,结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变,故三个结点均有相同的水平位移 。,P,(a),事实上,图(a)所示结构的独立线位 移数目,与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此,实用上 为了能简捷地确定出结构的独立线 位移数目,可以,(b),将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数,即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。,位 移 法,返 回,12,2.位移法的基本结构,用位移法计算超静定结构时,每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因
9、此,位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是,在每个刚结点上假想 地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结 点转动),同时在有线位移的结点上 加上附加支座链杆(阻止结点移动)。,1,2,3,4,5,6,例如 ( 见图a),(a),又例如(见图b),(b),2,3,4,5,6,7,共有四个刚结点,结点线位移 数目为二,基本未知量为六个。 基本结构如图所示。,1,基本未知量三个。,位 移 法,返 回,13,84 位移法的典型方程及计算步骤,以图(a)所示刚架为例,阐述在位移法中如何建立求解基本未知 量的方程及具体计算步骤。,P,L,1,2,3,4,EI=常数
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