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1、1全概率公式和贝叶斯公式,看一个例子:,一、全概率公式,例:有十件产品,其中三件次品,从中任取一件不放回,连取两次,求第二次取到次品的概率。,解:令第次取到次品,第次取到正品,则,有三个箱子,分别编号为1,2,3. 1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解 记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,B发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生,,其中 A1、A2、A3两两互斥,再看一个例子:,将此例中所用的方法推广到一般的情形,就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每
2、 一项运用乘法 公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得:P(B)=8/15,运用加法公式得到,即 B= A1B+A2B+A3B, 且 A1B、A2B、A3B 两两互斥,一个事件发生.,定义,全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解成若干个已知的简单事件再求解,而这些简单事件组成一个互不相容事件组,使得某个未知事件与这组互不相容事件中至少一个同时发生,故在应用此全概率公式时,关键是寻找一个合适的样本空间的划分。,某一事件A的发生有各种可能的原因 ,如果A是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起,则A发生的概率是,每一原因都可能导致A发生,故A发生的概率
3、是各原因引起A发生概率的总和,即全概率公式.,P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .,诸Bi是原因 A是结果,例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件 A 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30
4、%,20%,50%,2%,1%,1%,例2 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同?,解,则有,抓阄是否与次序有关?,依此类推,故抓阄与次序无关.,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,二、贝叶斯公式,看一个例子:,有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红球3白球,3号箱装有3红球. 某人从三箱
5、中任取一箱,从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化,就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.,P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,在贝叶斯公式中,P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,例3,解,(1) 由全概率公式得,(2) 由贝叶斯公式得,解,例4,由贝叶斯公式得所求概率为,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,三、小结,乘法定理,
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