第五节换元积分.ppt
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1、1,第五节,不定积分,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法,第六章,2,定理6.5 设函数f(x)在区间a,b上连续,作代换 满足下列条件:,上述公式称为定积分的换元积分公式,简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时, 单调变化,且,则:,定积分的换元法,3,证明,4,说明:,(1)定积分的换元法在换元后,积分上,下限也要作相应的变换,即“换元必换限”.,(2)在换元之后,按新的积分变量进行定积分运算,不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能,也可能,但一定要求满足,(4) 换元公式也可反过来使用 , 即,或凑微分,凑微分时不换限!,5,例1,定积分的换
2、元法,换元必须换限,解,令,原式,6,例2,定积分的换元法,换元必须换限,解,原式,7,例3 求,解,定积分的换元法,换元必须换限,8,例4,定积分的换元法,换元必须换限,解 原式,另解 原式,不换元则不变限,9,例5 求,解,定积分的换元法,换元必须换限,10,方法二,定积分的换元法,不换元不换限,11,例6,解:(1),12,例6,解:(2),13,例7 设,解 设,14,例7 证明,分析: (1)积分区间一样;(2)被积函数不同。 解决:采用适当的换元,使 a+b-x 化为 x .,证明,令,则,所以,所以,原命题成立。,换元,换限,15,证,16,17,例8表明了连续的奇、偶函数在对称
3、区间a,a上的积分性质,即偶函数在a,a上的积分等于区间0,a上积分的两倍;奇函数在对称区间上的积分等于零,可以利用这一性质,简化连续的奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.,18,奇函数,例9 计算,解,例10 计算,解,偶函数,19,奇函数,例11 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,20,证,(1)设,21,(2)设,22,故,23,例13,解:,24,例14,解:,25,26,定积分的换元积分法小结 1、基本换元规律,与不定积分相同; 2、定积分的换元法,得到新元的原函数后,无须回代, 但必须做到换元同时换限。,27,作业,P24 1. (1)(3)(5) 2.(5)(6) 3. 4. 8. 10.,28,练习1 求,解,29,30,2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,31,3. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,32,定积分的换元法,4,换元必须换限,解 原式,
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