多体相互作用的量子体系.ppt
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1、人民大学物理系 韩强,第三章、相互作用量子系统,第零节、二次量子化回顾,三步完成二次量子化(捷径、不必严谨) 1,单粒子力学量的对角表象简单的、特殊的 2,数数counting 3,表象变换一般化,多粒子问题的一次量子化描述N粒子态矢与力学量:,缺点1:,缺点2:对于粒子数不守恒的系统处理不方便!,引入多粒子问题的二次量子化描述态矢与力学量分别进行 二次量子化的态矢空间(态空间)Fock空间,其中:HN 代表粒子数为 N 的全同粒子系统的Hilbert空间,1,Fock空间的基矢占据数表示,Fock表示,Fock空间:将各种粒子数的全同粒子系统的态(Hilbert)空间作 直和,组成一个巨Hi
2、lbert空间,单粒子态空间的基矢:,1.1、先找到单粒子态空间的基矢(单粒子基),|i是力学量完全集的共同本征矢!满足,:完备性,:正交归一性,i代表一组量子数态指标!,显然, |i 是某些力学量的对角表象!,举例:3D箱中的无自旋单粒子,或,或,基矢:,坐标算符:x, y, z的共同本征态,动量算符:px, py, pz的共同本征态,有自旋单粒子,注:态指标i依赖于力学量的选取!,1.2、Fock空间基矢的占据数表示,该基矢描述了任意单粒子态i上粒子的占据情况; 是力学量完全集(一般情况下,无穷多)的共同本征态!,:完备性!,:力学量完全集!,引入粒子产生消灭算符:,表示在单粒子态 i 上
3、 产生或消灭一个粒子,1.3、Fock空间基矢的二次量子化形式,实现态矢的二次量子化:,其中:,满足:,注:i态上的粒子数算符:,2,单体力学量的二次量子化,单体力学量(一次量子化的定义):N个粒子各自的力学量之和. 例如总动量,总动能,总外势能,总角动量、总自旋,粒子数,例:理想气体的哈密顿量,:单粒子哈密顿量,一次量子化:,:N粒子单体力学量,:单粒子力学量,问题:如何二次量子化?,第一步:取单粒子哈密顿量的本征态矢为基矢:,h的对角表象!,第二步:数数,核心思想:(1) 对角表象 (2) 数数 注:看起来似乎(过分)简单、甚至平庸!,推广到任意单体力学量的二次量子化,一次量子化:,取 f
4、 的本征态作为单粒子空间的基矢:,:N粒子单体力学量,:单粒子力学量,:f的对角表象!,F的二次量子化(对角表象):,注:疑虑仍然存在, 看起来虽然简单 但似乎并不普遍!,单体力学量的二次量子化用产生消灭算符表达,选择 单粒子基矢是单粒子算符f的本征基矢! 任意单粒子基矢情况:,最后一步:表象变换,利用单粒子基矢的表象变换:,得到产生、消灭算符的表象变换:,代入,总结:任意单体力学量在任意单粒子基下的二次量子化,例:以下单粒子(电子, 自旋)力学量的二次量子化 1, 2, 3, 4,,注:自旋的z分量;对角表象,注:自旋的x分量;sz的对角表象,表象不限,对角表象,公式:,hermitian
5、conjugate,例:粒子数算符在任意单粒子基下都是对角的,任意单体力学量的一次量子化,粒子数的一次量子化,二次量子化,例:动量算符P的二次量子化形式 (3D箱,忽略自旋),表象变换(Fourier变换):,坐标表象中的动量算符:,动量表象(对角表象),两个有用的公式:,公式1:,公式2:,证明:利用单粒子基的完备性,利用分部积分,可以得到其等价形式:,直接由坐标表象的结果推广到有磁矢势的情况:,等价形式:,严格的推导:,动量的一次量子化,例:总动能算符的二次量子化形式 (3D箱),得到:,存在磁矢势的情况:,例:箱中的电子系统,其自旋的二次量子化,例2:对于以下几种单粒子(电子, 自旋)密
6、度量的二次量子化 1, 2, 3,,粒子数密度,电流密度,自旋密度,选择坐标表象:,例:粒子数密度,物理意义: R附近体积元中的粒子数!,容易验证:,单粒子力学量:,注:不要与第一章中的密度算符混淆,尽管存在联系!,利用表象变换:,取坐标表象(对角表象),二次量子化:,或记作:,例:自旋密度算符,例:电流密度算符,一次量子化,二次量子化,一次量子化,二次量子化,推广到有磁矢势的情况:,考察哈密顿量的含磁矢势的部分:,与磁矢势对应的广义力 即为电流密度算符的积分!,3,二体力学量二次量子化,二体力学量(一次量子化的定义):N个粒子两两之间的力学量之和. 例如总相互作用势能等等。,一次量子化:,:
7、N粒子,通项:两粒子力学量,:单粒子力学量!,举例:两个电子间的库伦势能,取f的单粒子本征矢作为基矢:,同一单粒子态上的粒子 之间的相互作用能,不同单粒子态上的粒子 之间的相互作用能,相互作用在对角表象中的二次量子化数数,二次量子化(过程略去):,下一步:表象变换,其中:,二体力学量的二次量子化完成!,例:三维箱中的相互作用势能的二次量子化(动量空间),一次量子化:,通项,二次量子化(坐标表象):,问题:如何化到动量表象? 方法1:利用场算符的表象变换 方法2:利用公式,采用方案2:,变量代换,重要公式:,最后一步,用到了,互作用势 的傅里叶变换!,汇总:,排斥势常用形式!,吸引势常用形式!,
8、相互作用的物理过程散射:,散射过程(忽略自旋):,初态是H0的任一本征态!,第零节、练习题,1)短程二体势:,2)长程二体势:,Fourier变换得到,Fourier变换得到,有外场的三维箱中的相互作用全同粒子系TOE,其中:,习题:零温情况,3D箱,写出以下基态的二次量子化形式 1,N个玻色子(无自旋,有质量)处于基态 2,N个电子处于基态,例题:理想玻色气体中的非对角长程序考察单粒子约化密度矩阵,非对角长程序!,完成对k的积分,有,注意:,例题:理想费米气体中的Friedel Oscillation,零温下费米气体中的Friedel Oscillation,思考题:温度对Friedel O
9、scillation的影响 (可以考虑高温极限,即玻尓兹曼分布),第一.1节、二次型哈密顿量的对角化,:线性代数里面的二次型函数 Bilinear, Quadratic,:上一节的哈密顿量的具有 类似的形式,一般的单体Hamiltonian厄密算符,厄密性,目标:将二次型哈密顿量对角化! 找到本征能量与本征基!即:,哈密顿量的矩阵形式:,U:Unitary Matrix,厄密矩阵的(形式)对角化,哈密顿量的对角化,对角化完成找到了(单粒子)本征能量与本征基!,注1单粒子基的变换,注2粒子数算符始终是对角的,注3逆变换,注4无相互作用多粒子问题再讨论,巨配分函数:,易证:,练习题:,利用注3!,
10、举例1:耦合二能级(态)系统的对角化,单粒子基:,可以化为耦合二能级系统的问题: H2,磁场中的电子自旋,聚乙烯,Graphene(石墨烯)等等!,总粒子数!,的对角化!,本征能量:,变换矩阵U的解法本征方程的求解,本征函数的求解过程:,决定了u,v之间的 相对位相!,一般约定 u 为正的实数,即位相为0!,定出v的位相,以下讨论仅限于 t为负实数!,不妨令:,本征方程求解完毕!,Hamiltonian的对角化:,“成键态”与“反键态” :,单电子hamiltonian的一次量子化形式! 难以严格对角化!,H2中的电子问题(忽略相互作用),首先建立在双质子势场中的电子Hamiltonian的二
11、次量子化形式,其中:,单粒子基的选取:,二能级简化!,代表中心在R点的氢原子本征态矢!,即:,为基态,矩阵元的计算:,Tight Binding近似,反键态!,成键态!,举例2:H2的推广一维分子链,能带,1D链 周期边条件,晶格常数:a=1 格点数:N 链长:L=Na=N,单粒子基:,在位能:,跃迁能:-t,消灭算符:,周期性!,如何对角化?,利用Hamiltonian的平移对称性本征态应是平面波!,类比连续体系:,利用场算符的Fourier变换!,或,1维分立体系(周期性边条件)的平面波函数:,幺正变换!,态矢,易证:,利用:,逆变换:,代入,Hamiltonian中的1项,利用,取厄密共
12、轭,推出:,对角化完成!,单粒子态密度的计算:,举例3:一维闭链的推广二维正方网格 (周期边条件),第一.1节、练习1,请对角化该哈密顿量,得到本征能谱, 并分析其能带宽度与 t 和 t 的关系。,一维闭链近邻与次近邻跳迁,第一.1节、练习2,1,2,3,2N-1,2N,周期边条件!,请对角化该哈密顿量,得到本征能谱,并作图(N趋于无穷),注:,一维闭链二聚化!,1D开链开放边条件哈密顿量的对角化,思考题:1,二维三角网格的哈密顿量的对角化,思考题:2,注:每个格点有6个最近邻,二维蜂巢网格的哈密顿量的对角化Graphene,思考题:3,碳60分子:,思考题:4,碳纳米管:,思考题:5,第一.
13、2节、Bloch-de Dominisis 定理,已对角化的单体广义哈密顿量!,目的:计算“偶数”个产生消灭算符乘积的系综平均(Wick定理),定义 两个算符乘积的“收缩”:,定义: 2s 个算符乘积的“完全收缩系”:将乘积分成 s 对, 并将每一对算符代之以相应的收缩, 在费米统计下还须乘以(-1)P,其中P代表全部算符从原来位置 变到各自收缩中相邻位置时,所必需的对换数。,其中P为由序列(123456)变到(152346)时的对换数,所以P = 3。,2s 个算符的乘积可以构成,Bloch-de Dominisis 定理: 对于已对角化的单体哈密顿量,产生消灭算符乘积的统计平均值等于这个乘
14、积所有可能的完全收缩系之和。,可以算出:,意义:把一系列算符乘积的平均化成最小单位“二元”平均的乘积之和,Bloch-de Dominisis 定理推论,对于可对角化的单体哈密顿量,产生消灭算符乘积的统计平均值等于这个乘积所有可能的完全收缩系之和。,引理 1:,证明:,Bloch-de Dominisis 定理的证明:,引理 2:,运动方程解法!,综合引理2、3:对于产生或消灭算符 A,引理 4:,证明:,下面只针对玻色统计,有,归纳法:,引理 5!,对上式左右两边取统计平均:,注解 1:,利用引理 4,,注解 2:,重复以上过程,针对玻色统计情况的Bloch-de Dominisis定理得证
15、!,作业:证明对于费米统计,,思考:Bloch-de Dominisis定理与Wick定理的联系与区别?,为什么引入平均场方法?,无相互作用的多粒子系统,只要知道单粒子态(本征能量、本征态矢), 就可以知道多粒子系统的统计性质!(难度:单粒子哈密顿量的对角化),(b) 有相互作用的多粒子系,占据数表象不再是系统的本征表象(系统的本征能量 不再是单个能级上的粒子能量之和),因此需要知道整个系统的量子态! 而不仅仅是单粒子态!(难度:多粒子哈密顿量的对角化),第一.3节、Hartree-Fock“自洽”平均场方法,平均场方法化二体算符为单体算符的近似方法!,有相互作用时的 Hamiltonian,
16、|n代表的是多粒子能量本征态,统计力学变分原理:,已知Hamiltonian:,密度矩阵:,热力学势:,做任意分解:,密度矩阵:,其中:,意义:对于一个难以对角化的哈密顿量, 可以尝试将其分解出一个容易对角化 的部分,尝试得到巨势的较好的估计!,证明:利用第一章引理,Hartree-Fock近似将难以对角化的二体项近似为容易对角化的单体项 的一种办法,,T=0 K时,二体项可以利用Wick定理进行分解:,Hartree-Fock近似:,T=0K时,代表基态平均! T0K时,代表系综平均(密度矩阵待定)!,Hartree Direct,Fock Exchange,Hartree平均场,Fock平
17、均场,注意:平均场哈密顿量中的系综平均如何进行仍未可知!,显然,综合:Hartree-Fock“自洽”平均场方法!,Hartree-Fock自洽方程(组):,其中:,两端都含有未知量,更一般的:Hartree-Fock-Bogoliubov自洽平均场,Hartree-Fock-Bogoliubov自洽方程(组):,特例:坐标空间的Hartree-Fock近似,费米子,自能的概念self energy:粒子间相互作用对单粒子能量的 贡献!,HartreeDirect,FockExchange,第一.4节、金属巡游铁磁理论Hubbard模型的平均场解法,电子间的相互作用(库仑排斥)会导致自发磁化铁
18、磁:,Fe:Tc=1043K Ni:Tc=628K Co:Tc=1388K,理想(无相互作用)电子气的Pauli顺磁性:,练习!,单带Hubbard模型:,平均场近似:,注意:区别于描述“局域”自旋的模型Heisenberg模型,考虑空间均匀的情况: 即平均值与空间位置无关,已对角化!“理想”电子气体! 但是:,m: 描述铁磁-顺磁相变的序参量!,由相互作用导致的 “等效” “自洽”的磁场,Pauli顺磁是由外磁场引起的, 而铁磁性是存在相互作用的情况下的“自发磁化”现象!,Pauli顺磁相比:,建立自洽方程:,其中N代表格点总数,f(E)为费米分布函数,关于平均场m,n的 自洽方程组!,求和
19、化积分:,用一个近似:当费米能量在能带底部附近时,可以将电子色散 关系近似为抛物线型,从而态密度近似为3D自由电子态密度! 结合Pauli顺磁的知识,求解该方程组并不困难!,T=0K 的情况Stoner判据,Stoner判据!,图解法!,练习题:U至少要多大才能在零温时达到饱和磁化!,居里温度Tc的确定:,利用T-Tc时,m-0, 将右边展开到m的线性项,要求:,二维正方晶格上Hubbard模型的反铁磁(自旋密度波)态,Hartree平均场近似,练习: 1), 利用产生消灭算符的傅里叶变换将上述哈密顿量在动量空间 中表达; 2), 将变换后的哈密顿量对角化; 3), 给出序参量m的自洽方程,并
20、在半满(格点平均电子数=1)的 情况下进行讨论。,自旋(电荷)密度波,超导等实验现象,建立模型哈密顿量,平均场哈密顿量,对角化,序参量自洽方程,平均场自由能,热力学量等,Hartree-Fock近似,二次型(单体) 哈密顿量,二体哈密顿量,第二节、超导理论中的二次型“哈密顿量”的对角化 二能级系统,费米子代数:,可见:,目标是求巨配分函数:,常数不会带来困难:,为什么Nambu表示?,(Fermion) particle-hole transformation!,回到1.1节的二能级系统!,c仍是费米子算符!,本征能量:,本征向量:,令,本征能量与本征向量,对角化完成 !,称为:Bogoliu
21、bov准粒子算符!,Bogoliubov准粒子变换!,Bogoliubov准粒子是 粒子与空穴的线性组合!,反对易关系,验证:,Bogoliubov逆变换,讨论1:体系的基态能量(严格说应该是巨热力学势)T=0K,代表Bogoliubov准粒子 的数目,对角化之后的讨论基态“能量”与基态波函数,讨论2:体系的基态波函数,准粒子真空态!,二能级费米系统的Fock空间的基:,或,基态波函数的构建:,利用准粒子真空的条件,确定叠加系数x!,归一化的波函数!,直接验证,其他思路!,本征态:,薛定谔方程:,等等!,练习题1:求任意温度下的平均粒子数,提示:利用,练习题2:验证任意温度下序参量,第三节、玻
22、色超流理论中的二次型哈密顿量的对角化:二能级 系统,玻色子代数:,Intuition:Nambu once again?,Fail! Because no particle-hole transformation for boson!,Whats this? Who knows!,Solution:Bogoliuvbov quasiparticle transformation again!,Bogoliubov 准粒子算符:粒子产生-消灭算符的线性组合!,容易得到逆变换:,u, v由一下条件确定 1)准粒子满足的对易关系 2)使哈密顿量对角化,逆变换!,Bogoliuvbov quasipa
23、rticle inverse-transformation!,u, v的确定,目标:对角化!要求:,将,代入以上哈密顿量,合并同类项,联立,?,对角化完成!,将,代入哈密顿量,玻色超流,费米超导,总结:,变换,逆变换,讨论1:体系的基态能量,T=0K,代表Bogoliubov准粒子 的数目,对角化之后的讨论基态“能量”与基态波函数,讨论2:体系的基态,基态是准粒子真空态!,二能级玻色系统Fock空间的基:,基态波函数的构建:,利用准粒子真空的条件,确定叠加系数C(na,nb)!,利用公式,合并同类项,即:,由递推关系联系的点构成线!如图所示:,同理,由,00,10,20,由递推关系,以及,可知
24、:,综合:,相干态!,对于费米超导二次型哈密顿量的基态:,问题:玻色超流哈密顿量的基态可以表达成相干态的形式, 那么费米超流问题呢?,练习题:单能级玻色超流哈密顿量,1)、已知玻色子广义哈密顿量:,引入Bogoliubov变换,其中 u, v 0,练习:,2)、上题中玻色子哈密顿量若含有线性项,即,其中C为实常数,将该哈密顿量对角化,思考题1:请计算玻色超流基态波函数的归一化因子C(0,0),思考题2:对玻色超流体系,尝试建立一种矩阵对角化方法?,第二节补充、(电子)超导理论中的二次型哈密顿量的对角化 更一般情况的讨论2n能级系统,n=1 时, 回到第二节!,Nambu表示:,用计算机将2n*
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- 相互作用 量子 体系
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