多元积分new.ppt
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1、,(按积分区域分类),定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型:对弧长,二型:对坐标,一型:对面积,二型:对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,多元数量值函数积分,计算机科学学院:李苹 2003年5月,一. 问 题 的 提 出,二. 多元数量值函数积分的概念,特点:平顶.,柱体体积=?,特点:曲顶.,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积,一、问题的提出,D,S,S : z = f (x,y),元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2 以平代曲,2. 曲顶柱体的体积,i,D,S : z = f (x,y),3 积零为整,2 以
2、平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2. 曲顶柱体的体积,.,i,D,S : z = f (x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,i,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2. 曲顶柱体的体积,.,V =,D,S : z = f (x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2. 曲顶柱体的体积,.,V =,S : z = f (x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,V,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,2. 曲顶柱体的体积,.,V =,D,S,S :
3、z = f (x,y),分割,任意分割区域 D, 化整为零,近似 以平代曲,i,的细杆,通过分割、近似、求和、取,极限的步骤,求出其质量,且用定积分表示为:,在一元函数的定积分中知道:一线密度为,2. 求不均匀物体的质量?,(1)求平面薄片的质量,小块质量近似,看作均匀薄片,每,薄片总质量,任取一小块 ,将其近似,将薄片任意分为n个小块,分割,近似,取极限,d为这n个小块中直径最大者,在D上连续,在点,其面积仍记为,求和,(2)空间物体的质量,设有一空间物体分布在有界闭区域V上,其体密度,近似,小体积 的质量的近似值,为 且 在V上连续.,分割 将V,为这 个 区,求和,取极限,则整个物体质量
4、的近似值为:,大直径,则物体的总质量为:,分割,求和,取极限,近似,将L任意分为 n 小段,设分点 依次为,间 长 应,则,(3)物体的质量分布在一条空间曲线 L 上,线密度为:,连续,(4)物体的质量分布在一块曲面S上,分割,近似,求和,取极限,设其面密度为 , 点M在S上,,且在S上连续.,二. 多元数量值函数积分的概念,定义 设函数f (M)在几何形体 上有界,任给 一个,分割,将 分为可以度量的子块,其度量仍记为,令 d 为这 n 个小块的最大直径,如果 d0 时,作和式,上述和式的极限存在,则称函数f (M)在 上可积分,,此极限值称为 f (M)在几何形体 上的积分。记为:,称为被
5、积函数;,称为被积表达式;,称为微元(素).,2.当被积函数 f (M) 1 时,,注 : 1.当f (M)为几何形体 的密度函数时,其质量,3.可证明,若 为可度量的,,则f (M)在 上一定可积,以后总假定f (M)在 上是可积的。,在直角坐标系下用平行于,面积元素为,在D上的积分则称为二重积分,,坐标轴的直线网来划分区域D.,设几何形体 是一平面区域D,,三、 不同几何形体上积分的表达式与名称,记为:,就称为三重积分.,记为,如果几何形体 是一空间闭区域V,那么在V上的积分,在直角坐标系中,如果用于平行于坐标面的平面来划分,则体积元素:,上的积分就称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分.,
6、记为:,如果L是闭曲线,常记为:,设几何形体 为一条平面或空间曲线L,那么在L,为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.,如果S是闭曲面,常记为,那么在S上的积分就称,设几何形体 为一曲面S,,小 结,二重积分,第一类曲面积分,三重积分,第一类曲线积分,为平面区域,为空间区域,为平面曲线,为空间曲线,为空间曲面,四、积分的性质 以下性质的证明与定积分的证明完全类似. 性质1 函数的和(或差)的积分等于各个函数 积分的和(或差),即 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即,性质3 闭区域 分成两个闭区域 , 且 与 无公 共内点,则 性质4 如果在 上满足 ,则 特别,由于 可得到不等式,
7、性质5 (估值定理)设 分别是 在几何形体 上 的最小值和最大值,则 ( 的度量) ( 的度量) 性质6 (积分中值定理)设 在闭几何形体 上连续, 则存在 ,使得 ( 的度量) 这些性质的证明与定积分的证明完全类似,就不再重复。,4.二重积分的计算 (D是矩形区域),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域 a,b ; c,d,z=f (x,y),y,a,b,c,d,D,D是矩形区域 a,b ; c,d,z=f (x,y),问题:Q( y)是什么图形?,Q( y ) =,是曲边梯形。,.,4. 二重积分的计算 (D是矩形区域),.,I,y,a,b,c,d,D,.,Q( y ) =,I,同理,也可
8、以先对 y 积分,.,.,z=f (x,y),D是矩形区域 a,b ; c,d,4. 二重积分的计算 (D是矩形区域),c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),y,D: (y) x (y) c y d,5. 二重积分的计算(D是曲线梯形区域),c,d,D,z=f (x,y),x=(y),x=(y),.,y,问题:Q( y)是什么图形?,D: (y) x (y) c y d,也是曲边梯形 !,.,Q( y ) =,I =,5. 二重积分的计算(D是曲线梯形区域),.,x=(y),y,c,d,D,.,D: (y) x (y) c y d,.,Q( y ) =,I =,z=f (x,
9、y),x=(y),5. 二重积分的计算(D是曲线梯形区域),D: x1(y) x x2(y) c y d,I =,x2(y),x1 (y),c,d,y,6. 二重积分计算的两种积分顺序,D,c,d,y,D,x2(y),x1 (y),I =,6. 二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,c,d,y,D,D: y1(x) y y2(x) a x b,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,I =,6. 二重积分计算的两种积分顺序,.,D: x1(y) x x2(y) c y d,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2
10、(x),D,x2(y),x1 (y),x,6. 二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,c,d,y,D,I =,a,b,y1(x),y2(x),D,x2(y),x1 (y),x,6. 二重积分计算的两种积分顺序,.,I =,D: x1(y) x x2(y) c y d,D: y1(x) y y2(x) a x b,1,1,3,y = x,x = y 2,D,.,.,.,7. 计算,1,1,y = x2,D,2 先对 y 积分(从下到上),1 画出区域 D 图形,3 先对 x 积分(从左到右),.,.,.
11、,y = x,.,.,.,8. 用两种顺序计算,a,b,1,D1,(定积分三角代换),.,.,瓦里斯公式,9.,=,D: x + y =1 , x y = 1,x = 0 所围,1,1,1,先对 y 积分,.,y =1 x,y = x 1,.,10. 将二重积分化成二次积分,D: x + y =1 , x y = 1,x = 0 所围,1,1,1,先对 y 积分,.,先对 x 积分,D1,D2,.,x =1 y,x = y +1,(不分块儿行吗?),10. 将二重积分化成二次积分,.,D: 由四条直线 : x=3,x=5, 3x 2y+4 = 0, 3x 2y+1 = 0 共同围成的区域,3,
12、5,5,8,3x 2y+4 = 0,3x 2y+1 = 0,D,.,D1,D2,D3,先对y积分,先对x积分,.,.,(需分块),.,.,(需分块),11. 将二重积分化成二次积分,D:,.,.,1,1,y = x,y = x2,.,12. 将二重积分换序,D:,.,.,a,a,.,.,.,.,x = y,13. 将二重积分换序,一 先对x积分,.,.,.,.,14. (练习)将二重积分化成二次积分,二 先对 y 积分,y,y,x,o,a,b,y,x,o,a,b,D,D,D,.,.,.,.,14. (练习)将二重积分化成二次积分,.,15.为什么引用极坐标计算二重积分,2,1,D,D1,D2,
13、D3,D4,D:,.,怎么计算?,需使用极坐标系!,此题用直角系算麻烦,必须把D分块儿!,极坐标系下的面积元素,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线: =常数;r =常数 分割区域 D,i,ri,ri+1,.,.,.,.,.,.,16. 利用极坐标计算二重积分,i,i,i +i,I =,ri,r,.,.,17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),极点不在区域 D 的内部,0,A,B,F,E,D,D:,r,r,17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,极点不在区域 D 的内部,r,17. 怎样利用极坐标计算二重积分(1),0,A,B,F,E,D,D:,.,步骤:
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