第八章无穷级数.ppt
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1、,第八章 无穷级数,8.1 常数项级数 8.2 幂级数 8.3 无穷级数在经济中应用,8.1 常数项级数,8.1.1 数项级数的概念,中学: 无穷等比级数,就是无穷级数的一种,定义,将其各项依次累加所得的式子,称为数项无穷级数,设有数列,项,通项,问题:如何理解无穷个数相加?,变化趋势,1. 部分和:,2. 部分和数列:,3. 收敛:,称级数收敛,称为级数余项,极限不存在,称级数发散,例. 判断级数敛散性:,(1). 1+2+3+n+,级数发散,(2).,级数收敛,=1,(3).,q =1时,q =-1时,极限不存在,级数发散,级数发散,级数发散,总之:,级数收敛,级数发散,(4).,级数发散
2、,8.1.2 常数项级数的性质,性质1,若级数 收敛于和 S, k 为常数,则,证,推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变,性质2. 两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减,性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性,证,不妨设去掉前k 项,得级数,常数,原级数部分和,时,同时敛散,因此,不影响级数的敛散性.,例:,因为 和 都收敛,级数收敛,性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变,证:,设收敛级数,新级数,注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.,(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.,例如: (11)+ (11)+ (11)+收敛,而1
3、1+11+11+发散.,性质5.(级数收敛必要条件),若级数 收敛,则,证:,(2). 时,级数 不一定收敛,判断级数发散 的第一步骤,但可以证明级数发散,假若级数收敛,则,但是,矛盾,例如:调和级数,(2),不存在,级数发散,例. 判断级数敛散性:,(1),级数发散,8.1.3 .正项级数及其审敛法,每一项都非负,其部分和数列有界,定理1(基本定理)正项级数 收敛的充要条件是,证,(充分性),是正项级数,因此,单调增加,单调有界数列必有极限,则级数收敛.,(必要性),由收敛数列必有界的性质可知,定理2(比较审敛法),设 和 都是正项级数,且,若 收敛,则 收敛;,若 发散则 发散.,证:,设
4、 收敛于,则 部分和,反之,若 发散则 必发散.,否则与上面的结论矛盾.,注意: 定理2可以与第一节的性质相结合,灵活运用.,例: p-级数的敛散性,解,时,级数显然发散.,因为 , 而 发散,则 p-级数发散,时,它的各项不大于下面的等比级数各项,收敛,收敛,因此 p-级数的部分和有界,故收敛.,发散 收敛,时,例. 判断级数敛散性:,而 收敛,收敛,而 发散,发散,而 收敛,收敛,定理3(比较审敛法极限形式),设 和 都是正项级数,如果,则 和 同时收敛或同时发散.,证,对,存在自然数N, 当 nN 时,即,由比较审敛法可知结论,例如前面例(3),由,也可以得出结论,例,而 发散,发散,定
5、理4.(比值审敛法),设 是正项级数,如果,则:,(证明略),例. 判断级数敛散性:,收敛,收敛,发散,发散,定理5.(根值审敛法),设 是正项级数,如果,则:,(证明略),解,则级数收敛,8.1.4.任意项级数及其审敛法,各项为任意实数的级数,1. 交错级数:,或,定理6 (莱布尼兹定理),则级数收敛,且其和 ,其,证,单调,有界,则,同理,交错级数,例如,收敛且S1,如果,则,2. 绝对收敛与条件收敛,对于一般的任意项级数,考虑,正项级数,例如,绝对收敛,条件收敛,定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛,证,设,则,收敛,而,注意:(1) 逆命题不成立,(2) 如果用比值或根值审敛法判定 发
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