第十六保角变换法求解定解问题.ppt
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1、第十六章 保角变换法求解定解问题,在许多物理问题中(如电学、热学、光学、流体力学和弹性力学等)经常会遇到解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的问题尽管可用前几章的理论方法如:分离变量法或格林函数法等来解决,但当边值问题中的边界形状变得十分复杂时,分离变量法和格林函数法却显得十分困难,甚至不能解决对于复杂的边界形状,拉普拉斯方程定解问题常采用保角变换法求解,保角变换法解定解问题的基本思想是:通过解析函数的变换(或映射,这部分知识在复变函数论中已经学习过)将,平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为,平面上具有简单形状(通常是圆、上半平面或带形域)的 边值问题,而后一问题的解易于求得于是再通过逆变换 就
2、求得了原始定解问题的解,这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法保角变换法,它是解决这类复杂边 界的最有效方法它特别适合于分析平面场的问题, 例如静电场的问题,由于这种求解复杂边界的定解问 题具有较大的实用价值,所以有必要单独以一章的内 容进行介绍复变函数论中已经系统介绍了保角变换 理论,本章主要介绍利用保角变换法求解定解问 题。,16.1 保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系,在复变函数论中我们已经知道,由解析函数,实现的从z平面到,平面的变换在,的点具有保,角性质,因此这种变换称为保角变换下面我们主要讨论一一 对应的保角变换,即假定,和它的反函数都是单值,函数;或者如果
3、它们之中有多值函数就规定取它的黎曼面的一 叶,定律16.1.1 如果将由,到,的保角变换看成为二元(实变)函数,的变换由,到,的变量代换,则,平面上的边界变成了,平面上的边界我们能证明,如果,程,则经过保角变换后得到的,满足拉普拉斯方,也满足拉普拉斯方程,【证明】 利用复合函数求导法则有,(16.1.1),同理,(16.1.2),两式相加得到,(16.1.3),利用解析函数,的C-R条件,(16.1.4),以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质,(16.1.5),将式(16.1.4)和式(16.1.5)代入到式(16.1.3)化简后得到,注意到上式已经使用了:,对于保角变换,因而只
4、要,满足拉普拉斯方程,则,)也满足拉,普拉斯方程,即为,(16.1.6),这样我们就有结论:如果在,平面上给定了,的拉普拉斯方程边值问题,,则利用保角变换,,可以将它转化为,平面上,的拉普拉斯方程边值问题,同理可以证明,在单叶解析函数,变换下,泊松方程,(16.1.7a),仍然变为泊松方程,(16.1.7b),由上式可知,在保角变换下,泊松方程中的电荷密度 发生了变化,同理可以证明,亥姆霍兹方程,(16.1.8a),经变换后仍然变为亥姆霍兹方程,(16.1.8b),容易注意到方程要比原先复杂,且,前的系数可,能不是常系数,下面将举例说明如何通过保角变换法来求解拉普拉斯方程,保角变换法的优点不仅
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- 第十六 变换 求解 问题
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