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1、本章要求 多维随机变量的概念 随机变量的独立性 两个随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其概率分布,本章要求: 1.理解二维离散型随机变量的分布律及其性质; 2.理解二维连续型随机变量的概率密度函数及其性质; 3.理解边缘分布律、边缘概率密度函数的概念 ,掌握求边缘分布律以及边缘概率密度函数的方法; 4.会判断随机变量的独立性; 5.了解两个随机变量的和的分布的求法; 本章重点:联合分布律,概率密度函数,边缘分布律,边缘概率密度函数,随机变量的独立性.,从本讲起,我们开始第三章的学习.,一维随机变量及其分布,多维随机变量及其分布,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难,我们重点讨论二
2、维随机变量 .,它是第二章内容的推广.,3.1多维随机变量的概念,3.1.1二维随机变量及其分布函数,到现在为止,我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述.,在打靶时,命中点的位置是由一对r .v (两个坐标)来确定的.,飞机的重心在空中的位置是由三个r .v (三个坐标)来确定的等等.,设,是定义在 上的随机变量,由它们构成的一个 维向,量.,以下重点讨论二维随机变量.,请注意与一维情形的对照 .,如果对于任意实数,二元 函数,称为二维随机变量 的分布函数,定义1,二维随机变量的分布函数,将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标,
3、那么,分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面左图所示的,以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.,分布函数的函数值的几何解释,随机点 落在矩形域,内的概率为,或随机变量X和Y 的联合分布律.,k=1,2, ,X 的分布律,k=1,2, ,定义2,的值是有限对或可列无限多对,设二维离散型随机变量,可能取的值是,记,如果二维随机变量,全部可能取到的不相同,称之为二维离散型随机变量 的分布律,3.1.2 二维离散型随机变量,二维离散型随机变量 的分布律具有性质,也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.,例 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数 ,而 Y 为正
4、面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,一般地,对离散型 r.v ( X,Y ),,则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为,X和Y 的联合分布律为,离散型随机变量的边缘分布律,(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为,例 把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三次抛掷中正面出现的次数 ,而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .,解 ( X,
5、Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3),PX=0, Y=3,PX=1, Y=1,PX=2, Y=1,PX=3, Y=0,=3/8,=3/8,PX=0=,PX=1=,PX=2=,PX=3=,PY=1=,PY=3=,=1/8,PX=0, Y=1+PX=0, Y=3,=3/8,PX=1, Y=1+PX=1, Y=3,=3/8,PX=2, Y=1+PX=2, Y=3,PX=3, Y=1+PX=3, Y=3,=1/8.,=3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8.,我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上,由此得出边缘分布这个名词.,联合分布与边缘分布的关
6、系,由联合分布可以确定边缘分布;,但由边缘分布一般不能确定联合分布.,X的概率密度函数,定义3,3.1.3 二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度,二维连续型随机变量 的概率密度具有性质,(X,Y)的概率密度的性质 :,在 f (x,y)的连续点 ,例 设(X,Y)的概率密度是,(1) 求分布函数,(2) 求概率 .,积分区域,区域,解 (1),当 时,故,当 时,(2),例,解 (1),故,(2) .,对连续型 r.v ( X,Y ) ,,X 和Y 的联合概率密度为,则 ( X,Y ) 关于 X 的边缘概率密度为,事实上 ,连续型随机变量的边缘概率密度,( X,Y )关于Y 的边缘概率密
7、度为,例 设(X,Y)的概率密度是,求 (1) c的值; (2)两个边缘密度。,= 5c/24 ,c =24/5.,解 (1),故,例 设 (X,Y) 的概率密度是,解,求 (1) c 的值; (2) 两个边缘密度 .,(2),当 时,当 时,暂时固定,注意取值范围,综上 ,当 时,例 设(X,Y)的概率密度是,解 (2),求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 .,暂时固定,综上 ,注意取值范围,在求连续型 r.v 的边缘密度时,往往要求联合密度在某区域上的积分. 当联合密度函数是分片表示的时候,在计算积分时应特别注意积分限 .,下面我们介绍两个常见的二维分布.,设G是平面上的有界区域,
8、其面积为A.若二维随机变量( X,Y)具有概率密度,则称(X,Y)在G上服从均匀分布.,向平面上有界区域G上任投一质点,若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比,而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G上服从均匀分布.,例,注意:先看P70 10、11,若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称( X,Y)服从参数为 的二维正态分布.,记作( X,Y) N( ).,例 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,因为,所以,特注:本例只记结果,则有,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 .,同理,可见,由边缘分布一般不能确定联合分布.,也就是说
9、,对于给定的 不同的 对应,不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.,此例表明,例,解,暂时固定,当 时,当 时,故,暂时固定,暂时固定,暂时固定,当 时,当 时,故,两事件 A , B 独立的定义是:若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A , B 独立 .,3.2.1两个随机变量的独立的性,3.2 随机变量独立性,它表明,两个r.v相互独立时,它们的联合分布函 数等于两个边缘分布函数的乘积 .,几乎处处成立,则称 X 和 Y 相互独立 .,对任意的 x, y, 有,若 (X,Y)是连续型r.v ,则上述独立性的定义等价于:,分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 .,若 (X,Y
10、)是离散型 r.v ,则上述独立性的定义等价于:,则称 X 和Y 相互独立.,对(X,Y)的所有可能取值(xi, yj),有,3.2.2 二维离散型随机变量的独立的性,解,x0,y 0,即,可见对一切 x, y, 均有:,故 X , Y 独立 .,解,0x1,0y1,由于存在面积不为0的区域,,故 X 和 Y 不独立 .,例 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少?,解 设X为甲到达时刻,Y为乙
11、到达时刻,以12时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45), YU(0,60),所求为P( |X-Y | 5) ,甲先到 的概率,由独立性,先到的人等待另一人到达的时间不 超过5分钟的概率,P(XY),解一,P( | X-Y| 5 ),=P( -5 X -Y 5),P(XY),解二,P(X Y),=1/2,被积函数为常数, 直接求面积,=P(X Y),P( | X-Y| 5 ),类似的问题如:,甲、乙两船同日欲靠同一码头,设两船各自独立地到达,并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时,乙船需停泊2小时,而该码头只能停泊一艘船,试求其中一艘船要等待码头空出的概率.,盒内有
12、 个白球 , 个黑球,有放回地摸球,例3,两次.,设,第1次摸到白球,第1次摸到黑球,第2次摸到白球,第2次摸到黑球,试求,(1) 的联合分布律及边缘分布律;,(2) 判断 的相互独立性;,(3) 若改为无放回摸球,解上述两个问题.,(1) 的联合分布律及边缘分布律,解,如下表所示 :,(2),由上表可知,故 的相互独立.,(3) 的联合分布律及边缘分布律如下,表所示 :,故 不是相互独立.,由上表知 :,可见,练习,2. 证明 对于二维正态随机变量 (X,Y) , X 和 Y 相互独立的充要条件是参数 .,在第二章中,我们讨论了一维随机变 量函数的分布,现在我们进一步讨论:,当随机变量 X,
13、 Y 的联合分布已知时,如何求出它 们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?,3.3 两个随机变量的函数的分布,例 若 X、Y 独立,P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求 Z=X+Y 的概率函数.,解,=a0br+a1br-1+arb0,由独立性,r=0,1,2, ,的分布,3.3.1离散型随机变量的函数分布,看P80例3-24,例 设 (X、Y)的分布律为,求 Z=X+Y 的分布律.,解 依题意,例 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为,于是,i = 0 , 1 , 2 ,
14、,j = 0 , 1 , 2 , ,的泊松分布.,r = 0 , 1 , ,即Z服从参数为 的泊松分布.,看P81例3-26,例 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,这里积分区域 D=(x, y): x+y z,解,Z=X+Y的分布函数是:,它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面.,3.3.2 两个独立连续型随机变量之和的概率分布,化成累次积分,得,固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y,得,变量代换,交换积分次序,由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为:,由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成,以上两式即是两个随机
15、变量和的概率密度的一般公式.,特别地,当 X 和 Y 独立,设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:,下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.,卷积公式,为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域,例 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度,求 Z=X+Y 的概率密度 .,解 由卷积公式,也即,暂时固定,故,当 或 时 ,当 时 ,当 时 ,于是,例 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解 由卷积公式,令,得,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,用类似的方法可以证明:,若X和Y 独立,结论又如何呢?,此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.,若X和Y 独立 , 具有相同的分布 N(0,1) , 则Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,练习,设 相互独立,则,结果,特注平方,请欣赏,精品课件资料分享,SL出品,
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