多项式插值课件.ppt
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1、2.1 多项式插值,总结,2.1.4 Hermite插值多项式,2.1.3 均差和Newton插值多项式,2.1.2 Lagrange插值多项式,2.1.1 问题的提出,第二章 函数的插值,学习目标:掌握多项式插值的Lagrange插值公式、牛顿插值公式等,等距节点插值、差分、差商、重节点差商与埃米特插值。重点是多项式插值方法。,2.1.1 问题的提出 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间a, b上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) 或者给出函数表,y=f(x),求解:y = f (x) 在 a , b 上任一点处函数值的近似值?,根据 f (x)在n+1个已知点的
2、值,求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)作为 f (x)的近似表达式,,插 值 法,然后计算 p(x)在a,b 上点x 处的函数值作为原来函数,f (x)在此点函数值的近似值。,代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数,解决思路,(1.2)式称为插值条件,,x2 xn b 点上的值 y0, y1, , yn . 若存在一简单 函数 p(x), 使得 p(xi) = yi i = 0, 1, 2, , n (1.2),1、定义,f ( x ) 称为被插函数,,a , b 称为插值区间, 称为插值节点 ,,求 p ( x ) 的方法就是插值法。,设函数 f (x) 在a , b上有定义,且已知
3、在 a x0 x1,成立,则称 p( x ) 为 f (x) 的插值函数。,近似计算f (x) 的值、零点、极值点、导数、积分,,插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插,插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi (i=0,1,n ) 处与f(xi)相等,在其它点 x 就用p(x)的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值,点 x 称为插值点。 换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用p(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望p(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。,最常用的插值函数是 ?,代数多项式,用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值
4、,本章主要讨论的内容,插值函数的类型有很多种,插值问题,插值法,插值函数,分段函数,三角多项式,本章先讨论插值问题,然后讨论数据拟合的有关问题。,拟合法就是考虑到数据不一定准确,不要求近似表达式 经过所有的点 ,而只要求在给定的 上误差 (i=0,1,n)按某种标准最小。若记 =( 1, 2 ,n )T ,就是要求向量的泛数| 最小。,1. 定义: 若p ( x ) 是次数不超过n 的实系数代数多项式, 即,则称p ( x)为n 次插值多项式。,相应的插值法称为多项式插值法。,常用次数小于(等于)n的实系数代数多项式集合Hn :,Hn= pn(x)|pn( x)= a0 + a1 x + +
5、an x n,ai为实数,p ( x ) = a0 + a1 x + + an x n,f(x),p(x),从几何上看,曲线 P ( x) 近似 f ( x),研究问题:,(1)满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一?,(2)若满足插值条件的P ( x) 存在,如何构造P ( x)?,(3)如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差?,2、插值多项式的存在唯一性,设 pn( x )是 f (x) 的插值多项式,,Hn表示次数不超过n 的所有多项,且 pn( x ) Hn .,称插值多项式存在且唯一,就是指在,由(1.2)可得,(1.3),方程组(1.3)有唯一解,插值多项式的唯
6、一性,0 (xixj),定理1 满足条件 (1.2) 的插值多项式存在且唯一。,范德蒙行列式,a0, a1, a2, , an 存在唯一,p(xi) = yi i = 0, 1, 2, , n,Hn 中有且仅有一个 pn( x ) 满足插值条件(1.2)式。,式的集合。,上述的存在唯一性说明,满足插值条件的多项式存在,并且插值多项式与构造方法无关。然而,直接求解方程组(1.3)的方法,不但计算复杂,而且难于得到p(x)的简单表达式。下面,我们将给出不同形式的便于使用的插值多项式。,基本思想:在n次多项式空间Pn中找一组合适的基函数 0(x), 1(x), 3 (x),使,pn(x)=a0 0(
7、x) +a1 1(x) +an 3(x),不同的基函数的选取导致不同的插值方法,Lagrange插值,Newton插值,2.1.2 Lagrange插值多项式,求 n 次多项式 使得,先考察低次插值多项式。,1、线性插值当n=1时,要构造通过两点 (x0 , y0 )和(x1, y1 )的不超过1次的多项式L1(x),使得,过两 点 (x0 , y0) 与 (x1, y1) 的直线,或,L1(x)是两个线性函数的线性组合,称为节点上线性插值基函数,节点上的线性 插值基函数:,满足,y 1 0 x0 x1 x,例1 已知 , , 求,解: 这里x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,
8、 利用线性插值,- 过三点(xk-1, yk-1), (xk , yk) 与(xk+1, yk+1),2、抛物插值法 (n =2 时的二次插值),设插值节点为:xk-1, xk, xk+1 ,求二次插值多项式L2(x),使得,L2( x j ) = y j , j = k-1, k, k+1 .,的几何意义,基函数法,先求 插值基函数l k-1(x), l k (x), l k+1(x) 二次函数,且在节点,的抛物线,满足:,求 lk-1(x):,再构造插值多项式,L2(x)是三个二次函数的线性组合,由,这种用插值基函数表示的方法容易推广到一般情形。,3、Lagrange 插值多项式(n次),
9、求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x):,先求插值基函数 然后构造插值多项式,设Ln(x)满足插值条件:L n ( xj ) = y j ( j = 0, 1, , n ) .,定义 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,n ) 在各节点,j , k = 0, 1 , n,上满足条件,则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函数。,L2(x) = yk -1 lk 1(x) + yk lk (x) + yk +1 lk +1(x),(类似于前面讨论n =1, 2 时的情形),先求 插值基函数,, k = 0, 1 , n .,k = 0, 1 ,
10、n .,再构造 插值多项式,(Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合),定理(Lagrange)插值多项式,通常次数=n , 但特殊情形次数可n ,如:过三点的二次插值多项式,解 按拉格朗日方法,有:,显然,如此构造的L(x) 是不超过n次 多项式。当n=1时,称为线性插值。当n=2时,称为抛物线插值。,练习 给定数据表,求三次拉格朗日插值多项式L3(x).,设 为插值节点,n次多项式 满足条件 由此可得,称为lagrange插值基函数。引入记号 容易求得 于是,lk(x)可以写成,x0x1 xi xi+1 xn-1 xn,y=f(x),y=p(x),a,b,在插值区间a, b上用插值多项式
11、p(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外,在其它点上一般是存在误差的。,若记 R (x) = f(x) - p(x) , 则 R(x) 就是用 p(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称插值余项. 我们可根据后面的定理来估计它的大小.,4 Lagrange插值多项式的截断误差,定理 设f(x)在a, b有n+1阶导数, x0, x1, xn 为 a, b上n+1个互异的节点, Ln(x)为满足 Ln(xi) = f(xi) (i=1,2, , n) 的n 次插值多项式,那么对于任何x a, b , (a,b), 有插值余项,其中,分析:,证,当t=x时,Rn(x),当
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