简单的数值方法教学课件.ppt
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1、1,9.2 简单的数值方法,9.2.1 欧拉法与后退欧拉法,积分曲线上一点 的切线斜率等于函数 的 值.,如果按函数 在 平面上建立一个方向场,那么,,积分曲线上每一点的切线方向均与方向场在该点的方向一致.,在 平面上,微分方程 的解 称 作它的积分曲线.,2,基于上述几何解释,从初始点 出发,,图9-1,3,一般地,设已作出该折线的顶点 ,过 依 方向场的方向再推进到 ,显然两个顶点 的坐标有关系,即,(2.1),这就是著名的欧拉(Euler)公式.,若初值 已知,则依公式(2.1)可逐步算出,4,例1,(2.2),求解初值问题,解,取步长 ,,欧拉公式的具体形式为,计算结果见表9-1.,初
2、值问题(2.2)的解为 ,按这个解析式 子算出的准确值 同近似值 一起列在表9-1中,两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差.,5,还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.,假设 ,即顶点 落在积分曲线 上,,6,图9-2,从图形上看,这样定出的顶点 明显地偏离了原来 的积分曲线,可见欧拉方法是相当粗糙的.,7,在 的前提下,,称为此方法的局部截断误差.,于是可得欧拉法(2.1)的公式误差,(2.3),(2.4),如果对方程 从 到 积分,得,8,右端积分用左矩形公式 近似.,再以 代替,如果在(2.4)中右端积分用右矩形公式,(2.5),称为后退的欧拉法.,欧拉公式是关于 的一个直接的计算公
3、式,这类公式,代替 也得到(2.1),,局部截断误差也是(2.3).,近似,则得另一个公式,称作是显式的;,9,公式(2.5)的右端含有未知的 ,它是关于 的一个函数方程,,隐式方程通常用迭代法求解,而迭代过程的实质是逐步显示化.,设用欧拉公式,给出迭代初值 ,用它代入(2.5)式的右端,使之转化 为显式,直接计算得,这类公式称作是隐式的.,10,然后再用 代入(2.5)式,又有,如此反复进行,得,(2.6),由于 对 满足利普希茨条件(1.3).,由(2.6)减(2.5)得,由此可知,只要 迭代法(2.6)就收敛到解 .,11,9.2.2 梯形方法,若用梯形求积公式近似等式(2.4)右端的积
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