第5讲n维空间中的点集.ppt
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1、第5讲 n维空间中的点集,目的:掌握n维空间中集合的内点、边界点、 聚点、开集、闭集等概念,熟练理解 Bolzano-Weirstrass 定理、 Borel 有限 覆盖定理,能运用这些定理解决一些 问题。 重点与难点:Bolzano-Weirstrass定理、 Borel有限覆盖定理。,第5讲 n维空间中的点集,一聚点、内点、边界点与Bolzano- Weirstrass定理 问题1:给定Rn中一个集合E及点P,P与 E有几种可能的关系?,第5讲 n维空间中的点集,定义1 设 , (i)若存在 ,使 ,则称 为 的内点。 (ii)若对任意 , 则称 为 的边界点。 (iii)若对任意 , 中
2、总有 中除 外的 点,即 ,则称 为 聚点。,第5讲 n维空间中的点集,不难看到,如果对任意 , , 则 中一定含 中无穷多个点。 定义2 若 ,则 的聚点全体记作 ,称为 的导集, 称为 的闭包,记为 。 定理1 的充要条件是 为 的一个极限点, 即存在一串互异的 ,使得 。,第5讲 n维空间中的点集,证明:充分性由聚点的定义不难得到。为证必要性,令 ,由于 ,故 , 取 中可能有相同者,为避免这种情况发生,不妨取 ,则存在 ,使,第5讲 n维空间中的点集,,再取 , 假如已取到 个互不相同的点 , 且 ,则取 , 显然,第5讲 n维空间中的点集,但 ,于是可取 从而 互不相同。由归纳法知可
3、找到一串互异的点 满足 。 证毕。,第5讲 n维空间中的点集,定理2 若 ,则 。 定理3 若 , 则,第5讲 n维空间中的点集,定理3的证明: 由于 ,由定理2立得 。现设 ,则对任意 , , 从而 含 或 中点,由定理1,知存在一串互异的点 ,使,第5讲 n维空间中的点集,中必有无穷多个都属于 或都 属于 ,不妨设 ,则由 ,知 。如果有无穷多个在 中,则将会有 ,总之 。 从而 。 综上 。证毕。,第5讲 n维空间中的点集,*定理4 (波尔察诺-外尔斯特拉斯(Bolzano- Weierstrass)定理)若 是 中一 个有界的无穷集合,则 至少有一个 聚点 ,即 。,第5讲 n维空间中
4、的点集,Bolzano- Weirstrass定理的证明: 为简单计,只就 的情形证之,一般情形可类似证明,只需将正方形换成 维立方体便可。因为 有界,故有常数 ,使 ,用坐标轴将 分为四个小正方形,每个小正方形边长显然为 ,由 是无穷的,显然四个小正方形中,至少有一个闭正方形含 中无穷多个点,记此小正方形为 ,再次用平行于坐标轴的直线将 分为四个,第5讲 n维空间中的点集,小正方形,则每个小正方形的边长 ,同理,其中至少有一个小闭正方形含中无穷多个点,记此小 闭正方形为 。依此方式进行下去,可得一串小闭正方形 , 的边长为 ,且含 中无穷多个点。此外还有 ,于是由闭矩形套定理知 含唯一的点,
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