第5讲拟合.ppt
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1、数据拟合,数学建模,数学与统计学院,刘鹏,2019/4/9,page2,拟 合 问 题 引 例 1,求60C时的电阻R,设 R=at+b a,b为待定系数,2019/4/9,page3,拟 合 问 题 引 例 2,求血药浓度随时间的变化规律c(t).,作半对数坐标系(semilogy)下的图形,MATLAB(aa1),2019/4/9,page4,曲 线 拟 合 问 题 的 提 法,已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi,yi) i=1,n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好,y=f(x),i 为点(xi,yi) 与曲线
2、 y=f(x) 的距离,2019/4/9,page5,拟合与插值的关系,函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同的,实例:下面数据是某次实验所得,希望得到X和 f之间的关系?,MATLAB(cn),问题:给定一批数据点,需确定满足特定要求的曲线或曲面,解决方案:,若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象整体的变化趋势,这就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟合,若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题;,2019/4/9,page6,最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果:,2019/4/9,page7,
3、曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法的基本思路,第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), ,rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) (1) 其中 a1,a2, ,am 为待定系数,第二步: 确定a1,a2, ,am 的准则(最小二乘准则): 使n个点(xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离i 的平方和最小 ,记,问题归结为,求 a1,a2, ,am 使 J (a1,a2, ,am) 最小,2019/4/9,page8,用MATLAB作线性最小二乘拟合,1. 作多项式f(x)=a1xm+ +amx+am+1拟合,可利用已有程序:,a
4、=polyfit(x,y,m),2. 对超定方程组,3.多项式在x处的值y可用以下命令计算: y=polyval(a,x),2019/4/9,page9,例 对下面一组数据作二次多项式拟合,2019/4/9,page10,1)输入以下命令: x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和拟合曲线的图形,2)计算结果: = -9.8108 20.1293 -0.0317,解 用多项式
5、拟合的命令,MATLAB(zxec2),2019/4/9,page11,1. lsqcurvefit 已知数据点: xdata=(xdata1,xdata2,xdatan), ydata=(ydata1,ydata2,ydatan),用MATLAB作非线性最小二乘拟合,MATLAB提供了两个求非线性最小二乘拟合的函数:lsqcurvefit和lsqnonlin两个命令都要先建立M文件fun.m,在其中定义函数f(x),但两者定义f(x)的方式是不同的,可参考例题.,lsqcurvefit用以求含参量a(向量)的向量值函数 F(a,xdata)=(F(a,xdata1),F(a,xdatan)T
6、 中的参变量x(向量),使得,2019/4/9,page12,输入格式为: (1) x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata); (2)x,options,funval,Jacob=lsqcurvefit(fun,x0,xdata, ydata,);,说明:x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);,迭代初值,选项见无 约束优化,2019/4/9,page13,lsqnonlin用以求含参量x(向量)的向量值函数 f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T 中的参量x,使得 最小 其中 fi(x)=f(x,xdata
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