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1、第 五 章,虚功原理与结构位移计算,5-2 结构位移计算的一般公式,结构属于变形体,在一般情况下,结构内部产生应变。结构的位移计算问题属于变形体体系的位移计算问题,方法仍以虚功法最为普遍。 推导位移计算一般公式有几种途径: 1、根据变形体体系的虚功方程,导出位移计算的一般公式。(5-8) 2、应用刚体体系的虚功原理,导出局部变形的位移公式;然后应用叠加原理,导出变形体体系的位移计算公式。,一、局部变形时静定结构的位移计算举例 设静定结构中的某个微段出现局部变形,微段两端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形,仍然是刚体。 因此,当某个微段有局部变形时,静定结构的位移计算问题可以归结为当
2、该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。举例说明。,书例5-1:悬臂梁在截面B有相对转角,求A点竖向位移AV(是由于制造误差或其他原因造成的)。,A1,A1,1,解:在B处加铰(将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态)。,(5-5),书例5-2:悬臂梁在截面B有相对剪切位移,求A点与杆轴成角的斜向位移分量(是由于制造误差或其他原因造成的)。,A1,B1,解:在B截面处加机构如图(将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态)。,A1,B1,1,二、局部变形时的位移公式,基本思路:,把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位移计算问题。 如图所示,已知只有B点附近的微段 ds 有
3、局部变形,结构其他部分没有变形。 ds局部变形有三部分: 轴向伸长应变 平均剪切应变 0 轴线曲率 ( = 1/R,R为杆件轴向 变形后的曲率半径) 求A点沿方向的位移分量d 。,位移状态(实际) 力状态(虚拟),(1) 两端截面的三种相对位移 相应内力,相对轴向位移 d= d s,相对剪切位移 d=0ds,相对转角 d=d s /R= d s,轴力 FN,剪力 FQ,弯矩 M,相对位移d、 d、 d是描述微段总变形的三个基本参数。,基本思路:,d,s,ds,A1,d,d,d,ds,d,B,C,d,d,R,1,(2) d s趋近于0,三种相对位移还存在。相当于整个结构除B截面发生集中变形(d,
4、d,d)外,其他部分都是刚体,没有任何变形。属刚体体系的位移问题。 (3) 应用刚体体系虚功原理,根据截面B的相对位移可分别求出点A的位移d,局部变形位移公式:,(5-8),三、结构位移计算的一般公式,由叠加原理: 总位移=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小 位移d,即:,若结构有多个杆件,则:,(5-9),单位荷载虚功 = 所求位移,考虑支座有给定位移,则可得出结构位移计算的一般公式:,其中包含:,弯曲变形对位移的影响,(5-11),轴向变形对位移的影响,(5-12),剪切变形对位移的影响,(5-13),支座移动对位移的影响,(5-10),(5-14),讨论:,(1) 式(5-10)根
5、据刚体体系虚功原理和叠加原理导出,适用于小变形情况。,(2)式(5-10)实质上是几何方程,给出已知变形(内部变形、0 和支座位移ck),与拟求位移之间的关系。,(3)式(5-10)是普遍公式。(因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质)可考虑任何情况:,、变形类型:弯曲、轴向、剪切变形。,、产生变形的因素:荷载、温度改变、支座移动等。,、结构类型:梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。,、材料性质:弹性、非弹性。,(4)变形体虚功原理:,将式(5-10)改写为:,(5-15),外力虚功W =内力虚功Wi,(5-16),可视为变形体虚功原理的一种表达形式。,四、结构位移计算的一般步骤(P16
6、1),已知结构杆件各微段的应变、0(根据引起变形的原因而定),支座移动ck。,求结构某点沿某方向的位移。,1、沿欲求方向设FP=1。,3、根据公式(5-10)可求出。,注意正负号:,、公式(5-10)中各乘积表示,力与变形方向一致,乘积为正,反之为负。,、求得为正,表明位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。,广义位移和广义虚单位荷载示例,广义位移,广义虚单位荷载,(外力)虚功,B,A,C,C,li,lj,1/liAi + 1/liBi +1/ljAj+ 1/ljAj = (Ai+Bi)/ li+ (Bj+Cj)/ lj =i+ j = ij,1 1,1 CL+1 CR = CL + CR =
7、C,由材料力学公式可知: 荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切应变可表示为: 弯曲应变: = MP /EI 轴向应变: = FNP /EA (5-18) 剪切应变: 0= k FQP /GA,式中: FNP、 FQP 、 MP是荷载作用下,结构各截面上的轴力,剪力,弯矩。注意这是在实际状态下的内力。 E,G 材料的弹性模量和剪切弹性模量。 A,I 杆件截面的面积和惯性矩。 EA,GA , EI杆件截面的抗拉,抗剪,抗弯刚度。 k是与截面形状有关的系数(剪应力分布不均匀系数) 计算公式,将(5-18)代入(5-9)可得荷载作用下平面杆件结构弹性位移计算的一般公式:,(5-19),将位移计算问题转化为
8、两种状态下的内力计算问题。,正负号规定:,FQ 、 FQP 同材料力学;,2、各类结构的位移计算公式,(1)梁和刚架:位移主要由弯曲变形引起。,(2)桁架:各杆只有轴力,且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。,(5-20),(5-21),(3)组合结构:一些杆件主要受弯,一些杆件只有轴力。,(4)拱:,扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时:,通常情况:,(5-22),(5-23),(5-20),例: 简支梁的位移计算。 求图示简支梁中点C的竖向位移CV 和截面B的转角 。,解:求C点的竖向位移:,虚拟状态如图:,FP=1,1/2,实际状态 虚拟状态,MP=q(lx-x2) / 2,FQP=q(l-
9、2x)/ 2,因对称性,只计算一半。,5-4 荷载作用下的位移计算举例,讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响:,设简支梁为矩形截面,k=1.2, I /A= h2 / 12,横向变形系数 =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。, / = ( kql2/8GA)/(5ql4/384EI),=9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2,当 h/l =1/10时, 则: / =2.56,对一般梁来说,可略去剪切变形对位移的影响。,但当梁h/l1/5时, 则: / =10.2,对于深梁,剪切变形对位移的影响不可忽略。,求截面B的转角。,虚拟状态如图所示。,M=1,1/l,实际状态 虚拟状态,MP=q(lx-x2)/2,M= - x/l,计算结果为负,说明实际位移与虚拟力方向相反。,例: 图示一屋架,屋架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆,下弦杆和其他拉杆采用钢杆。 试求顶点C的竖向位移。,解:,(1)求FNP,先将均布荷载q化为结点荷载FP=ql/4 。 求结点荷载作用下的FNP 。,FNP,3.00,- 4.74,- 4.42,- 0.95,1.50,4.50,(2) 求,作业: P200 5-7(b) 、5-8(a)、5-10 每周三课后随堂交作业,周一发回。,
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