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1、Tuesday, April 9, 2019,1,第七章 状态空间分析法,Tuesday, April 9, 2019,2,主要内容,时间响应 状态转移矩阵 状态转移矩阵(矩阵指数)的运算 系统的能控性和能观测性 对偶原理 能控性和能观测性与传递函数的关系,Tuesday, April 9, 2019,3,7.1 引言,用状态空间法对线性系统进行定量和定性的分析。定量分析给出系统对给定输入响应的解析表达式,讨论状态转移矩阵的性质和计算方法。定性分析讨论线性系统的能控性和能观测性及稳定性。,7.2 时间响应与状态转移矩阵,一、状态方程的求解(时间响应)及状态转移矩阵的性质:,线性定常连续系统的状
2、态方程为: ,给定初值 和输入 ,要求确定状态变量的未来的变化。即求出 -时间响应。,Tuesday, April 9, 2019,4,两端拉氏变换得: ,整理得:,拉氏反变换得:,这里用到了拉氏变换的卷积性质: 若,式中,,回忆标量方程: (初值为 )的求解:,Tuesday, April 9, 2019,5,同样,对于状态方程,两边求拉氏变换得:,两边左乘 得:,参考右边的标量式:,上式右边是等比级数之和(初值= , )。其和为,我们也可以将 写成上述形式:,Tuesday, April 9, 2019,6,那麽,,它由两部分组成:一部分是由初始状态 引起的自由解,也叫零输入解,即是齐次方
3、程 的解, 。另一部分是由输入 引起的强迫解。也叫零状态解,即 时的解。,若初始时刻为 ,可以不加证明的说明如下:,Tuesday, April 9, 2019,7,如上图,若将 看作 的初值,则有:,所以, ,它表示了随着时间 的推移,状态的转移过程。状态可以在时间轴上分段。,Tuesday, April 9, 2019,8,转移矩阵的性质:,对于任意的 方阵 ,恒有 ,式中, 为标量。可以用定义证明之。,,用定义证明。,矩阵指数 总是非奇异的,即其逆存在,且 。 证明:,同样,,Tuesday, April 9, 2019,9,用途:对于齐次方程 ,有:,由此性质可以看出:已知矩阵指数 可
4、求 ,方法为:,Tuesday, April 9, 2019,10,对方阵 ,当,若有n阶方阵 ,及n阶非奇异阵 ,且 ,则: 。,上面性质告诉我们:若求 较复杂,而求 简单时,可用此法。 比如可以令,Tuesday, April 9, 2019,11,状态和矩阵指数的关系:,解:设 ,则:,Tuesday, April 9, 2019,12,由上述四个方程可以解出,Tuesday, April 9, 2019,13,例7-2-2:已知: , 求 。,解:,Tuesday, April 9, 2019,14,二、矩阵指数的计算:,直接级数求和法: ,适用于数值运算。,拉氏变换法:,例7-2-3
5、:若 ,求:,解:,Tuesday, April 9, 2019,15,标准型法(特征值,特征向量法):,这个方法是根据 的性质而得到的:若 ,则: ,可以分为两步求解:,Tuesday, April 9, 2019,16,b、如何求解 或 。,a、取适当的变换阵 ,使 (对角阵)或 (约当阵)。当 有互异特征根时, 可化为 ;当 有相同特征根时, 只能化为 ;关于 的求法已在上面介绍过了。,下面根据四种情况分别说明:,Tuesday, April 9, 2019,17,证明:,Tuesday, April 9, 2019,18,、 有全重特征根,则 ,若约当阵为:,Tuesday, Apri
6、l 9, 2019,19,、当 中有m个重特征根 ,n-m个互异根 时, 可化为:,Tuesday, April 9, 2019,20,Tuesday, April 9, 2019,21,例7-2-4:设 ,求,求特征向量:当 时,有 , 为对应的特征向量。,Tuesday, April 9, 2019,22,那麽,Tuesday, April 9, 2019,23,例7-2-5:设 求,所以 不能选范德蒙阵。,解: 是可控标准型,我们以前讲过,当特征根互异时,转换成对角阵的转换阵 是范德蒙矩阵。我们先求特征根。,Tuesday, April 9, 2019,24,求 时的特征向量:设为,Tu
7、esday, April 9, 2019,25,Tuesday, April 9, 2019,26,凯莱哈密尔顿法(待定系数法):,凯莱哈密尔顿定理:设 阶方阵 的特征多项式为:,Tuesday, April 9, 2019,27,当 有互异的特征根 时,有:,上述定理可由凯莱-哈密而顿定理证明(略)。 当 有重特征根时,较繁,略去。,Tuesday, April 9, 2019,28,例7-2-6:设 ,求 。,解:,Tuesday, April 9, 2019,29,信号流图法:,为了避免矩阵求逆的运算,可以根据状态方程,画出信号流图,再用梅逊公式求出矩阵指数 。,以二阶系统为例说明:,上式中, 表示以 为输入, 为输出的传递函数。在信号流图上可以用梅逊公式求 和 之间的传递函数 ,即可得出 ,进而求出 。,Tuesday, April 9, 2019,30,例7-2-7:状态方程为:,解:两边求拉氏变换得:,Tuesday, April 9, 2019,31,信号流图为:令,Tuesday, April 9, 2019,32,Tuesday, April 9, 2019,33,Tuesday, April 9, 2019,34,小结,时间响应 状态转移方程 状态转移矩阵及其性质 状态转移矩阵(矩阵指数)的运算,
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