第一章矩阵代数.ppt
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1、第一章 矩阵代数,1.1 定义 1.2 矩阵的运算 1.3 行列式 1.4 矩阵的逆 1.5 矩阵的秩 1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹 1.7 正定矩阵和非负定矩阵 1.8 特征值的极值问题,1.1 定义,pq矩阵:,p维列向量:,q维行向量: a=(a1,a2,aq),向量a的长度:,单位向量:,若A的所有元素全为零,则称A为零矩阵,记作A=0pq或A=0。 若p=q,则称A为p阶方阵,a11,a22,app称为它的对角线元素,其他元素aij(ij)称为非对角线元素。 若方阵A的对角线下方的元素全为零,则称A为上三角矩阵。显然,aij=0,ij。 若方阵A的对角线上方的元素全为零,则称A
2、为下三角矩阵。显然,aij=0,ij。 若方阵A的所有非对角线元素均为零,则称A为对角矩阵,简记为A=diag(a11,a22,app)。 若p阶对角矩阵A的所有p个对角线元素均为1,则称A为p阶单位矩阵,记作A=Ip或A=I。,若将矩阵A的行与列互换,则得到的矩阵称为A的转置,记作A,即 若方阵A满足A=A,则称A为对称矩阵。显然,aij=aji。,1.2 矩阵的运算,若A=(aij):pq,B=(bij):pq,则A与B的和定义为 A+B=(aij+bij):pq 若c为一常数,则它与A的积定义为 cA=(caij):pq 若A=(aij):pq,B=(bij):qr,则A与B的积定义为,
3、运算规律,(1)(A+B)=A+B。 (2)(AB)=BA。 (3)A(B1+B2)=AB1+AB2。 (4) 。 (5)c(A+B)=cA+cB。,若两个p维向量a和b满足 ab=a1b1+a2b2+apbp=0 则称a和b正交。几何上,正交向量之间相互垂直。 若方阵A满足AA=I,则称A为正交矩阵。显然, , i=1,2,p,即A的p个行向量为单位向量; ,即A的p个行向量相互正交。又从AA=I得: (jk),即A的p个列向量也是一组正交单位向量。 若方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。 对称的幂等矩阵称为投影矩阵。,正交矩阵A的几何意义,将p维向量x看作是在Rp中的一个点,则x的各分量
4、是该点在相应各坐标轴上的坐标。正交阵A的行列式非1即1。若|A|=1,则正交变换y=Ax意味着对原p维坐标系作一刚性旋转(或称正交旋转),y的各分量正是该点在新坐标系下的坐标;若|A|=1,则包含了一个反射的坐标轴。 当p=2时,按逆时针方向将直角坐标系x1Ox2旋转一个角度,所得新坐标系y1Oy2与原坐标系之间的变换为 当p=3时同样有着直观的几何展示。 由于 yy=(Ax)(Ax)=xAAx=xx 故在新、旧坐标系下,该点到原点的距离保持不变。,矩阵的分块,设A=(aij):pq,将它分成四块,表示成 其中A11:kl,A12:k(ql),A21:(pk)l, A22:(pk)(ql)。
5、若A和B有相同的分块,则,若C为qr矩阵,分成 其中C11:lm,C12:l(rm),C21:(ql)m,C22:(ql)(rm),则有,例1.2.2 用矩阵分块方法证明正交矩阵A:pp的p个列向量和p个行向量都是一组正交单位向量。 证明 将矩阵A分别按列向量和行向量分块,并记 由AA=I,得,于是 故有 即a1,a2,ap为一组正交单位向量。同理,由AA=I可证a(1),a(2),a(p)也是一组正交单位向量。,1.3 行列式,p阶方阵A=(aij)的行列式定义为 这里 表示对1,2,p的所有排列求和,(j1j2jp) 是排列j1,j2,jp中逆序的总数,称它为这个排列的逆序数,一个逆序是指
6、在一个排列中一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数。例如,(3142)=1+(1342)=3+(1234)=3。,行列式的一些基本性质,(1)若A的某行(或列)为零,则|A|=0。 (2)|A|=|A|。 (3)若将A的某一行(或列)乘以常数c,则所得矩阵的行列式为c|A|。 (4)若A是一个p阶方阵,c为一常数,则|cA|=cp|A|。 (5)若互换A的任意两行(或列),则行列式符号改变。 (6)若A的某两行(或列)相同,则行列式为零。 (7)若将A的某一行(或列)的倍数加到另一行(或列),则所得行列式不变。 (8)若A的某一行(或列)是其他一些行(或列)的线性组合,则行列式
7、为零。,(9)若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵,则 (10)若A和B均为p阶方阵,则|AB|=|A|B|。 (11)|AA|0。 (12)若A与B都是方阵,则 (13)若A:pq,B:qp,则 |Ip+AB|=|Iq+BA| 例1.3.3 设x,y为两个p维向量,则 |Ip+xy|=1+yx,代数余子式,设A为p阶方阵,将其元素aij所在的第i行与第j列划去之后所得(p1)阶矩阵的行列式,称为元素aij的余子式,记为Mij。Aij=(1)i+jMij称为元素aij的代数余子式。有以下公式成立,1.4 矩阵的逆,若方阵A满足|A|0,则称A为非退化方阵;若 |A|=0,则称A为退化方阵。
8、设A=(aij)是一非退化方阵,若方阵C满足AC=I,则称C为A的逆矩阵,记为C=A1,A1必是一个非退化矩阵。令 B=(Aij)/|A| 其中Aij是aij的代数余子式,则容易验证AB=BA=I。由于C=BAC=B,因此A1是惟一的,且(A1)1=A。,逆矩阵的基本性质,(1)AA1=A1A=I。 (2)(A)1=(A1)。 (3)若A和C均为p阶非退化方阵,则 (AC)1=C1A1 (4)|A1|=|A|1。 (5)若A是正交矩阵,则A1=A。 (6)若A=diag(a11,a22,app)非退化(即aii0,i=1,2,p),则 (7)若A和B为非退化方阵,则,1.5 矩阵的秩,一组同维
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