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1、第十八章 隐函数定理及其应用,一、第十八章主要思想内容:,1研究一个给定的方程,在指定的区域(范围)内是否可以确定(表示)一个函数(隐函数)。,通俗地说,在指定的区域(范围)内,,方程,是否有唯一解,2若方程,有指定的区域(范围)内确定一个隐函数,则其分析性质如何(是否连续、可微)?,如何求其隐函数的导数?,三、隐函数存在定理,定理18.1,若满足下列条件:,函数,在以,为内点的某一区域,上连续;,(满足初始条件);,在,内存在连续的偏导数,则在,的某邻域,内,方程,惟一地确定了一个,定义在某区间,内的函数(隐函数),使得,时,且,在,内连续.,隐函数存在性定理的四个条件:,函数,在以,为内点
2、的某一区域,上连续;,(满足初始条件);,在,内存在连续的偏导数,注:,(1) 定理的条件是充分的,但不必要.,例,方程,在(0,0)的邻域内不满足4),但仍能确定出隐函数,(2) 条件3)和4)可减弱为“,在,的邻域内关于,严格单调”.,(3) 若将3)和4)改为,3) 在D内有连续的偏导数,4),则方程,可确定唯一的连续函数,例1,已知方程,由于,及其偏导数,在平面上任一点都连续,且,由隐函数存在定理唯一性性定理,方程,确定了一个定义在,上的连续函数,例2,讨论方程,能否在原点某邻域内确定隐函数,解:,设,由于,及其偏导数,都在原点的邻域连续,,且,由隐函数存在唯一性定理,,方程,确定了一
3、个定义在原点某邻域,隐函数,例3,讨论方程,能否在原点某邻域内确定隐函数,解:,设,由于,及其偏导数,都在原点的邻域连续,,且,但,故无法根据存在唯一性定理得到结论性的结果 .,四、隐函数可微性定理,定理2,若,满足定理1的四个条件,又在D上存在连续的偏导数,则由方程,确定的隐函数,在,内有连续的导数,且,(可直接对方程,两边求全微,得,进而可求其导数.),证明思路:,设方程(1)确定的隐函数为,与,都属于,对应的函数值,与,都属于,(可直接对方程,两边求全微,得,进而可求得上述公式),证明思路:,设方程(1)确定的隐函数为,与,都属于,对应的函数值,与,都属于,则,其中,(由二元函数中值定理
4、),注意到,的连续性, 令,取极限即可得结论.,解,令,则,例4,设方程,由于,及其偏导数,在平面上任一点都连续,且,由隐函数存在定理与隐函数可微性定理,,方程确定了一个定义在,上的连续可导函数,且,例5,讨论方程,能否在原点某邻域内确定隐函数,解:,设,由于,及其偏导数,都在原点的邻域连续,,且,由隐函数存在唯一性定理,,方程,确定了一个定义在原点某邻域,连续且可微的隐函数,且,解,令,则,均连续。,函数的一阶和二阶导数为,例6 讨论笛卡儿叶形线,所确定的隐函数,的一阶与二阶导数。,例6 讨论笛卡儿叶形线,所确定的隐函数,的一阶与二阶导数。,解:,曲线在,处的点,方程能确定隐函数,曲线,上,
5、的点为,两边对x求导,得,由此解得,(1),(1)式两边对x求导,得,(2),由此解得,将(2)代入,化简后得,注意到,得,定理18.3,若(i)函数,在以点,为内点的区域,上连续;,(ii),(iii),在,内存在且连续;,(iv),则在点,的某邻域,内,方程,了一个定义在,的某邻域,内的,唯一确定,元连续,函数(隐函数),使得,当,时,且,在,内有连续偏导数:,而且,例7,讨论方程,(13),在原点的附近所确定的函数及其偏导数.,解:,由于,且各偏导函数,处处连续,又,由隐函数定理18.3,在原点附近能唯一确定连续可微的隐函数,且,五、反函数的存在性与其导数,隐函数存在唯一性定理:,函数,在以,为内点的某一区域,上连续;,(满足初始条件);,在,内存在连续的偏导数,则在,的某邻域,内,方程,惟一地确定了一个,定义在某区间,内的函数(隐函数),例4 设函数,在,的某邻域内有连续的导数,且,问题:,(1)函数,在,的某邻域内存在反函数的条件是什么?,(2)反函数的导数?,解:,令,则,隐函数存在定理的条件 1),2),3).,例4 设函数,在,的某邻域内有连续的导数,且,问题:,(1)函数,在,的某邻域内反函数的条件是什么?,(2)反函数的导数?,解:,令,则,隐函数存在定理的条件 1),2),3).,若,则方程,在,的某邻域内确定隐函数,就是函数,的反函数.,而,即为,且,
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