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1、第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1 地图投影概述,3.1.1 地图投影的意义与实现,寻找椭球面上大地经纬度B,L,与平面坐标的关系,若投影面与原面的曲率半径不同,则必然会产生投影变形,不同的控制投影变形的方法,对应于不同的投影。,3.1.2 地图投影变形及其表述,1、投影长度比、等量纬度及其表示式,长度比:投影后长度与椭球面上长度之比。,投影平面上微分长度:,椭球面上微分长度:,3.1.2 地图投影变形及其表述,上式中,q为等量纬度,计算公式为,引入等量纬度后,使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。,3.1.2 地图投影变形及其表述,引入等量纬度后,投影公式为:,求微分,得:
2、,其中:l = L - L0,3.1.2 地图投影变形及其表述,根据微分几何,其第一基本形式为:,其中:,3.1.2 地图投影变形及其表述,则,长度比公式为:,将 代入上式,得:,3.1.2 地图投影变形及其表述,当A=0或180 ,得经线方向长度比:,当A = 90或270 ,得纬线方向长度比:,要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:,3.1.2 地图投影变形及其表述,长度比与1之差,称为长度变形,即:,vm0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短。,3.1.2 地图投影变形及其表述,2、主方向和变形椭圆,主方向:两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍然正
3、交,则这两个方向为主方向。 性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比。,对照第一基本形式,得:,且:,3.1.2 地图投影变形及其表述,代入长度比公式,得:,即:,解得:,由三角公式得:,3.1.2 地图投影变形及其表述,由此得,极值长度比为:,将三角展开式代入得:,因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:,3.1.2 地图投影变形及其表述,不难得出下列关系:,3.1.2 地图投影变形及其表述,若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:,3.1.2 地图投影变形及其表述,3、方向变形与角度变形,某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:,由三角公
4、式,得:,显然,当 +1 = 90或 270 时,方向变形最大,3.1.2 地图投影变形及其表述,若与1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:,顾及:,解得最大变形方向为:,3.1.2 地图投影变形及其表述,两方向、所夹角的变形称为角度变形,用表示。即:,显然,当 +1 = 90、 + 1 = 270 或 +1 = 270、 + 1 = 90 时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:,3.1.2 地图投影变形及其表述,4、面积比与面积变形,椭球面上单位圆面积为 ,投影后的面积为ab,则面积变形为:,3.1.3 地图投影的分类,1、按投影变形的性质分类 (1). 等面积投影 a b = 1 (
5、2). 等角投影 a = b (3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。,3.1.3 地图投影的分类,2、按采用的投影面和投影方式分类,(1). 方位投影 投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上。,3.1.3 地图投影的分类,(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影:切圆柱投影、割圆柱投影 切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成 一组平行直线,经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线 投影成一组平行直线,经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。,3.1.3 地图投影的分类,横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影:常用于小比例尺投影,将地球视为圆球, 投影圆柱体斜切于圆球进行投影。 (3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上 物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥 投影、斜圆锥投影。,3.1.3 地图投影的分类,习 题,1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用。 2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件?并给出证明。 3. 变形主方向有什么性质? 4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件? 5. 地图投影按变形性质分哪几类?按投影方式分哪几类?,
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