第二部分原子的结构和质习题.ppt
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1、第二章 原子的结构和性质 习题,计算氢原子的基态波函数在 处的比值。 解:氢原子基态波函数为: 该函数在 两处的比较值为: 而,本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且,如果我们注意到 在r的全部区间内随着r的增大而单调下降这个事实,计算结果的合理性也是显而易见的。,已知氢原子的 试问下列问题: (a) 原子轨道能E=? (b) 轨道角动量|M|=?轨道磁距|=? (c) 轨道角动量M和Z轴的夹角是多少度? (d) 列出计算电子离核平均距离的公式(不必计算出具体 的数值)。 (e) 节面的个数、位置和形状怎样? (f) 几率密度极大值的位置在何处? (g) 画出径向分布图。,解: (a
2、) 原子轨道能为: (b) 轨道角动量为: 轨道磁距为:,(c)设轨道角动量M和Z轴的夹角为,则: =900,(d) 电子离核的平均距离的表达式为: (e) 令 ,得: 节面或节点通常不包括 的节面只有一个,即x,y平面(当然,坐标原点也包含在xy平面内)。亦可直接令函数的角度部分.,(f) 几率密度为: 由式可见,若r相同,则当=00或=1800时最大(亦可令 ),以0表示,即:,解之得:,又因:,所以,当 有极大值。 此极大值为:,= 36.4nm-3,(g),根据此式列出D-r数据表:,0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 0 0.015 0.090 0.169 0.195
3、 0.175 0.134 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 0.091 0.057 0.034 0.019 1.0210-2 5.310-3 按表中数据作D-r图,得下图: 由图可见,氢原子 的径向分布图有 个极大(峰)和 个极小(节面),这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在 处,这与最大几率密度对应的 r 值不同,因为二者的物理意义不同。另外,由于径向分布函数只与 有关而与 无关, 、 和 的径向分布图相同。,作氢原子的 图 ,证明 极大值 在 处,并说明两种图形不同的原因。,解:H原子的 分析 、 的变化规律,估计的变化范围及特殊值,选取合适的值,计算出
4、列于下表:,*从物理图象上来说, 只能接近于0。,0* 0.10 0.20 0.35 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30,1.00 0.82 0.67 0.49 0.37 0.25 0.17 0.11 0.07,0 0.03 0.11 0.24 0.37 0.48 0.54 0.54 0.50,1.60 2.00 2.30 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00,0.04 0.02 0.01 0.007 0.003 0.001 0.001 ,0.42 0.29 0.21 0.17 0.09 0.04 0.02 0.01 0.005,根据表中数据作 图 如图2.
5、9(a)和(b)所示。 令 得,即 处有极大值,这与 称为H原子的最可几半径,亦常称为Bohr半径。推广之,核电荷为Z的单电子“原子”,1s态最可几半径为 。,图不同的原因是 的物理意义不同, 表示电子在空间某点出现的几率密度,即电子云。而 的物理意义是:Ddr代表在半径为 和半径为 的两个球壳内找到电子的几率。两个函数的差别在于 不包含体积因素,而Ddr包含了体积因素。由 图可见,在原子核附近,电子出现的几率密度最大,随后几率密度随 的增大单调下降。由 图可见,在原子核附近, 接近于0,随着 的增大, 先是增大,到 时达到极大,随后随 的增大而减小。由于几率密度 随 的增大而减小,而球壳的面
6、积 随 的增大而增大,两个随 变化趋势相反的因素的乘积必然使 出现极大值。,写出Li2+离子的Schrodinger方程,说明该方程中各符号及各项的意义;写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答: (a) 1s电子径向分布最大值离核的距离; (b) 1s电子离核的平均距离; (c) 1s电子几率密度最大处离核的距离; (d)比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低; (e) Li原子的第一电离能(按Slater屏蔽常数算有效核电荷)。,解:Li2+离子的Schrodinger方程为: 方程中, 分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离; 分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量,
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