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1、1,第二章 多速率信号处理 与小波变换,郑宝玉 2007.3.21,2,三、多分辨率信号处理基础,Fourier分析局限性及解决办法,小波变换与滤波器组,Fourier分析局限性 Gabor变换与测不准原理 小波变换 STFT与WT的比较,3,Fourier分析局限性及解决办法,Fourier分析局限性,特点 - 定义了频率概念 - 分析了信号能量在各频率成分中的分布 局限 - 只能获得信号的整体频谱特性, 不能获得信号的局部频谱特性 - 不能描述和分析非平稳信号 典型例子 傅立叶变换常用于进行谐波分析。但当傅立叶变换结 果谐波幅度很小,甚至可能被淹没时,利用传统的傅 立叶变换就很难获得可靠的
2、结果,为此有必要研究信 号的局部特性,故引入小波变换。,4,Fourier分析局限性及解决办法,Gabor变换与测不准原理 为研究信号的局部特性,引入Gabor变换(STFT),定义: Gx(f, t) = Fx()g(-t) 作用:将一维信号x(t)映射为时-频平面(t,f)的二维函数。 含义 - 把STFT看作是加窗付氏变换;在时刻t, 计算其“所有频率”分量 - 将STFT看作频率为f的BPFB;在频率f, 在“所有时间” 对信号滤波 优缺点 - 优点:研究信号的局部特性 - 缺点:局部分辨率都一样;时间频率分辨率相矛盾(测不准) - 原因:使用单一的窗口(基函数),即基函数不变,5,F
3、ourier分析局限性及解决办法,小波变换,小波变换的引入 为了为克服STFT的缺点,我们希望构造“可变”基函数, 即 构造: - 持续时间很短的高频基函数 - 持续时间很长的低频基函数 做到: - 在高频区,频率窗口很宽,而时间窗口很窄; - 在低频区,频率窗口很窄,而时间窗口很宽。 这时,信号分析滤波器相当于一个相对带宽恒定(常Q) 的滤波器组。小波变换就是利用这一思想构造出来的。,6,Fourier分析局限性及解决办法,小波变换,小波基函数 在小波变换中,小波基函数由某函数伸缩平移得到:,式中 a为标度因子(scaling factor)起着类似于频率的作用 h(t) 小波母函数,简称母
4、函数 ha,b(t) 小波基函数,简称基函数,易见,基函数与标度因子有着密切关系: 对于大的a, 基函数是母函数的展宽型,是一低频函数 对于小的a, 基函数是母函数的缩小型,是一高频函数,7,Fourier分析局限性及解决办法,小波变换,小波变换(WT)的定义 用小波基ha,b(t)取代富氏变换中的复指数基,即构成WT,如图所示。由图看见,WT的时-频分辨率是变化的,即,在高频区,WT的持续时间较短 在低频区,WT的频率宽度较窄 在中频区,WT与STFT具有相同的时-频分辨率,8,9,Fourier分析局限性及解决办法,STFT与WT的比较,共同点:STFT 与WT都可解释为:对每一分析频率f
5、,用 中心频率为f 的带通滤波器(组)对信号x(t)滤波的结果 不同点 - 在STFT中,带宽f 与中心频率f 无关,f =c (带宽恒定) - 在WT中,带宽f 与中心频率f 有关,f/f =c (相对带宽恒定),10,如何理解小波变换,波变换 傅立叶变换(正弦波)、沃尔什变换(方波) 窗口变换 短时傅立叶变换 波变换和窗口变换都是固定基的变换 小波变换(任意),典型例子: 音乐无线谱:小波变换 五线谱音乐:小波反变换,11,小波变换与滤波器组,预备知识,小波变换定义的进一步讨论 为便于后面讨论,将小波变换定义式写为,其中小波基函数为其母函数的伸缩平移:,式中标度因子a的大小直接关系母波的展
6、宽和缩小,12,小波变换与滤波器组,预备知识(续),如令 则上式变为,或,式中 - 2m 是t的标度因子 - 2-mn是t的平移 - 2m/2 是归一化因子,以保证,13,小波变换与滤波器组,多分辨率分析,在多分辨率分析中, Mallat引入尺度函数(小波“父”函数) (双尺度差分方程,基本递归方程)(4a),和小波函数(小波“母”函数):,构成绝对可积平方空间 的正交基, 构成向量空间 的正交基,其中 或,则, 构成向量空间 的正交基( 为 的正交补空间)且,设,14,小波变换与滤波器组,1),2),3), 具有如下性质, 与 之间存在如下关系:,4) 且,5),多分辨率分析(续),小波函数
7、 的重要价值: 它的伸缩平移生成 中的 一 组正交基 , 从而可将给定函数 进行小波分解:,其中,存在 和 和 分别构成 和 的正交基,15,小波变换与滤波器组,子波变换与滤波器组 在实际应用中, 不必涉及尺度函数或子波函数, 而只需考虑 其系数 和 以及 等, 且其可看作 数字信号(滤波器)。 分析(Analysis)或分解(Decomposition) 为了直接对子波变换进行工作,下面导出低尺度级(低分辨率 级)与高尺度级(高分辨率级)之间的关系. 由尺度方程:,令 , 有,再令 m=2k+n, 则上式变为,16,小波变换与滤波器组,根据 , 上式变为,设 ,则,或,其中,即,同理,17,
8、式(10)的分解如下图所示:,18,子波变换与滤波器组 综合(synthesis)或合成(composition),小波变换与滤波器组,设 ,则,或,将(4a)和(4b)代入上式,得,利用类似于上面的方法计算式(9)和(11)的系数,得,19,式(11)的合成过程如下图所示:,20,两级分解/合成的情况如下图所示:,21,完全重构条件,由此可见:小波变换可通过滤波器组来实现 假如信号x(n)或X(z)经小波或子带分解(分析滤波器组)后又经综合滤波器组合成为x(n)或X(z)。则X(z)可能出现三种失真:混叠失真、相位失真和幅度失真。 - 要使整个系统输出没有混叠失真,须使 G0(z)H0(-z
9、)+ G1(z)H1(-z)=o (a) - 要使整个系统输出没有相位失真和幅度失真,须使 G0(z)H0(z)+ G1(z)H1(z)=z-k (b) 结论:满足(a)和(b)的滤波器组称为无混叠、无失真滤波器组或完全重构滤波器组、式(a)和(b)称为完全重构条件。只满足(a)或(b)的滤波器组称为无混叠或无失真的滤波器组。,22,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数(尺度系数参数化) 正则性与消失矩 (regularity&vannishing moments) M倍(M带)尺度函数与小波,23,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,工具与定义, 三类信号,24
10、,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,工具与定义, 傅氏变换 已知,定义,则(a)变为,迭代后变为,25,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,定理2:如果 是基本递归方程的解,且 及,定理1:如果 是基本递归方程的解,且 ,则,则当 时, 有,定理3:若 是基本递归方程的解,且,则,基本定理 考虑 有如下结论:,满足(17)的滤波器称为正交镜像滤波器(QMF)。,26,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,尺度系数的参数化(N=2时),由定理1和3, 即式(13)和(17), 有,解得,其结果就是Haar尺度函数系数,也叫做长度为2 的Dauber
11、chies系数Dau92。,27,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,尺度系数的参数化(N=4时),由定理1和3, 即式(13)和(17), 有,解得,当 时, 即得长度为4 的Dauberchies系数:,当 时, 则退化为Haar尺度函数系数。,和,28,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,尺度系数的参数化(N=6时),由定理1和3, 即式(13)和(17), 可得,当 , 即得长度为6的Daubechies系数。当 , 则退化为长度为4的 Daubechies系数; 而当 , 则得Haar系数。,29,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数,尺
12、度系数的参数化(N为一般时),当N更大时,尺度系数h(n)的参数化更难。一种比较有效的方法是采用P.P.Viadyanathan提出的格型分解方法(见 Multirate Systems & Filter Banks, 1992)来计算。,30,与小波滤波器设计有关的若干问题,尺度函数与尺度系数(尺度系数参数化) 正则性与消失矩 (regularity&vanishing moments) M倍(M带)尺度函数与小波,31,与小波滤波器设计有关的若干问题,正则性与消失矩,K-正则性尺度滤波器,尺度滤波器:由基本递归方程(尺度方程)得到系数h(n) 的滤波器,也就是系数h(n)满足定理1和3的,
13、即满足:,K-正则性:如果尺度滤波器的z变换在 处具有K 个零点, 就说该尺度滤波器是K-正则性的。此时, 有,注意: 这里我们定义了h(n)的正则性,而不是尺度函数 和小波函数的的正则性,其中 是尺度系数h(n)的z变换, 而Q(z)在 处没有零点和极点。,32,与小波滤波器设计有关的若干问题,正则性与消失矩 (续),K-正则性尺度滤波器(续),正则性由尺度系数 组成的FIR滤波器传递函数 或其频率响应 来定义。,而尺度函数 的傅氏变换 与系数为FIR滤波器的频 率响应 之间的关系为,由此可以可以推断,因为 是一个低通滤波器,如 果它在 处有高阶零点,则 迅速衰减, 从而 是平滑的。这正是我们所希望的。,33,与小波滤波器设计有关的若干问题,正则性与消失矩(续),k阶矩,离散k阶矩:h(n)和g(n)的离散k阶矩分别定义为,k阶矩: 的k阶矩分别定义为,k阶矩的计算,34,与小波滤波器设计有关的若干问题,正则性与消失矩(续),消失矩,一般要求小波具有消失矩性质:,当k=0时, 有,这表明 是一个迅速衰减的波, 由此将Wavelets译为小波, 以强调其波幅小的一面; 其实具有消失矩性质的波不一定 是幅值很小的波, 而是持续时间很短的波, 因此, 有人认为, 子波比小波更符合“Wavelets”一词的含义。,
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