第五节极限的运算法则.ppt
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1、第五节 极限运算法则,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,一、 无穷小运算法则,时, 有,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,例1、,求,解:,利用定理 2 可知,说明 :
2、y = 0 是,的渐近线 .,二、 极限的四则运算法则,则有,定理 3 、若,1、,2、,3、,证1、,因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,证明2略,证3、,为无穷小,(详见P44),因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,定理三中的1、2、可以推广到有限个函数的,(1),(2),推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),情形,若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .,定理4、,例
3、2、,设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 若,不能直接用商的运算法则 .,若,例3、,求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,分式求极限一般有如下结果:,为非负常数 ),定理5、,证:,由第三节定理3推论,有,三、 复合函数的极限运算法则,定理6、 设,且 x 满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,说明:,若定理6中,则类似可得,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,
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