二十世纪数学概观.ppt
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1、,二十世纪数学概观,(第三次数学危机),二十世纪纯粹数学已经不再仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合,而已成为分支众多的、庞大的知识体系。它的发展趋势或特点:,(1)更高的抽象性,(2)更强的统一性,(3)更深入的基础探讨,是二十世纪上半叶德国乃至全世界最伟大的数学家之一。他在横跨两个世纪的六十年的研究生涯中,几乎走遍了现代数学所有前沿阵地,从而把他的思想深深地渗透进了整个现代数学。,希尔伯特( D. Hilbert.David,18621943),德国数学家。,大卫希尔伯特,1862年1月23日出生在东普鲁士的哥尼斯堡。他一直在家乡上学,1885年取得博士学位,1886年就任哥尼斯堡大学讲
2、师。1888年因为解决了不变式理论中著名的“哥尔丹问题”开始在数学界崭露头角,1891年他升任副教授,1893年升任教授。1895年,他应克莱因之邀,任哥丁根大学教授,由此开辟了哥丁根大学的黄金时代。,由于他的影响,哥丁根成为世界数学的中心,繁盛了三、四十年,希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。 希尔伯特是二十世纪最有影响的数学家,他不仅是数学上一些分支的公认权威,而且恐怕也是最后一位在几乎所有数学领域中都做出伟大贡献的全才。,一、新世纪的序幕,1900年8月,德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为数学问题的著名讲演。他的
3、讲演是这样开始的:,“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕,看一看今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域,新世纪将会带来什么样的方法和成果?”,希尔伯特在讲演的前言和结束语中,对各类数学问题的意义、源泉和研究方法发表了许多精辟的见解,而整个演说的主题,则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以来,这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。,1976年,在美国数学家评选的自1940年以来美国数学的十大成就中,有三项就是希尔伯特第1、第5、第10问题的解决
4、。由此可见,能解决希尔伯特问题,是当代数学家的无上光荣。,1975年,在美国伊利诺斯大学召开的一次国际数学会议上,数学家们回顾了四分之三个世纪以来希尔伯特23个问题的研究进展情况。当时统计,约有一半问题已经解决了,其余一半的大多数也都有重大进展。,下面摘录的是1987年出版的数学家小辞典以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况:,1 连续统假设 1874年,康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数,这就是著名的连续统假设。1938年,哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛-弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年,美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛-伦克尔集合论公理是
5、彼此独立的。因此,连续统假设不能在策梅洛-弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。,2 算术公理的相容性 欧几里得几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年,哥德尔发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。 1988年出版的中国大百科全书数学卷指出,数学相容性问题尚未解决。,3 两个等底等高四面体的体积相等问题 问题的意思是,存在两个等边等高的四面体,它们不可分解为有限个小四面体,使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了
6、肯定解答。,4 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多,因而需增加某些限制条件。1973年,苏联数学家波格列洛夫宣布,在对称距离情况下,问题获得解决。 中国大百科全书说,在希尔伯特之后,在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展,但问题并未解决。,5.一个连续变换群的李氏概念,定义这个群的函数不假定是可微的 。 这个问题简称连续群的解析性,即:是否每一个局部欧氏群都有一定是李群?中间经冯诺伊曼(1933,对紧群情形)、邦德里雅金(1939,对交换群情形)、谢瓦荚(1941,对可解群情形)的努力,1952年由格利森、蒙哥马利、齐宾共同解决,得到了完全肯定的结果。
7、,6.物理学的公理化 希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理,首先是概率和力学。1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫实现了将概率论公理化。后来在量子力学、量子场论方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化,很多人表示怀疑。,7.某些数的无理性与超越性 1934年,A.O.盖尔方德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分,即对于任意代数数0 ,1,和任意代数无理数证明了 的超越性。,8.素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润(1966),但离最终解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。,希尔伯特
8、曾说,如果他在沉睡1000年后醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想得到证明了吗?现在100多年过去了,这个问题至今仍没答案。该猜想已被美国克雷数学研究所列为世界黄金问题之一,能证明或证伪该猜想的人将会获得100万美元的奖金。,黎曼猜想:(Riemann 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上),孪生素数问题: 在自然数列中,若p是素数,而p+2也是素数,则谓之具此性质的两个素数组合在自然数列中的出现为孪生素数。,哥德巴赫猜想: (a)任何一个=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。,9在任意数域中证明最一般的
9、互反律 该问题已由日本数学家高木贞治(1921)和德国数学家E.阿廷(1927)解决。,10 丢番图方程的可解性 能求出一个整系数方程的整数根,称为丢番图方程可解。希尔伯特问,能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的算法不存在。,11 系数为任意代数数的二次型 H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936,1951)在这个问题上获得重要结果。 12 将阿贝尔域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去 这一问题只有一些零星的结果,离彻底解决还相差很远。,13 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程 七次方程的
10、根依赖于3个参数a、b、c,即x=x (a,b,c)。这个函数能否用二元函数表示出来?苏联数学家阿诺尔德解决了连续函数的情形(1957),维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形(1964)。但如果要求是解析函数,则问题尚未解决。,14 证明某类完备函数系的有限性 这和代数不变量问题有关。1958年,日本数学家永田雅宜给出了反例。 15 舒伯特计数演算的严格基础 一个典型问题是:在三维空间中有四条直线,问有几条直线能和这四条直线都相交?舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化,并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法,它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。,16 代数
11、曲线和代数曲线面的拓扑问题 这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置,其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3,但这一结论是错误的,已由中国数学家举出反例(1979)。,17 半正定形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,.,xn) 都恒大于或等于0,是否都能写成平方和的形式?1927年阿廷证明这是对的。 18 用全等多面体构造空间 由德国数学家比勃马赫(1910)、荚因哈特(1928)作出部分解决。,19 正则变分问题的解是否一定解析 对这一问题的研
12、究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。 20 一般边值问题 这一问题进展十分迅速,已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。,21 具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明 已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决。 22 由自守函数构成的解析函数的单值化 它涉及艰辛的黎曼曲面论,1907年P.克伯获重要突破,其他方面尚未解决。,这23问题1-6是数学基础问题,7-12是数论问题;13-18是代数和几何问题,19-23数学分析问题,涉及现代数学大部分重要领域,大大地推动了20世纪数学的发展。,23 变分法的进一步发展 这并不是一个明确的数学问题,只是谈
13、了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。,但希尔伯特问题未能包括拓扑学、李代数、黎曼几何与张量分析、群表示论、微分方程等在20世纪成为前沿学科的领域中的数学问题。除数学物理外很少涉及应用数学。20世纪数学的发展,远远地超出了希尔伯特问题所预示的范围。,有些问题的研究(如2,10)还促进了现代计算机理论的成长。重要的问题历来是推动科学前进的杠杆,但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题,并如此持久地影响了一门科学的发展,这在科学史上是不常见的。,1、更高的抽象,更高的抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势或特征之一。这种趋势,最初主要受到了两大因素的推动。即集合论观点和公理化方
14、法的应用。,(1)集合论观点,19世纪以来由康托尔所创立的集合论,最初遭到许多数学家(包括克罗内克、克莱因、庞加莱等)的反对。但到20世纪初,这,一新的理论在数学中的作用越来越明显,集合概念本身被抽象化了,可以是任意性质的元素集合,如函数的集合、曲线的集合等等。,集合论引起了数学中基本概念(如积分、函数、空间等)的深刻变革。,(2)公理化方法,外尔曾说过:“20世纪数学的一个十分突出的方面是公理化方法所起的作用极度增长,以前公理化方法仅仅用来阐明我们所建立的理论基础,而现在它却成为具体数学研究的工具。”,现代公理化方法的奠基人是D.希尔伯特,虽然欧几里得已用公理化方法总结了古代的几何知识,但他
15、的公理体系是不完备的。希尔伯特在1899年发表的几何基础中则提出第一个完备的公理系统。,飞跃一:希尔伯特在几何对象上达到了更深刻的抽象。,如:“点、线、面”已经纯粹是抽象的对象,没有特定的具体内容。,飞跃二:希尔伯特考察了各公理间的相互关系,明确提出了对公理系统的基本逻辑要求,即,(1)相容性,(3)完备性,(2)独立性,集合论观点与公理化方法在20世纪逐渐成为数学抽象的范式,它们相互结合将数学的发展引向了高度抽象的道路。这方面的发展,导致了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数等具有标志性的四大抽象分支的崛起。,2、数学的统一化,20世纪的数学一方面越来越分化成许多分支,另一方
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