斐波那契数列与黄金分割.ppt
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1、1,第三节 斐波那契数列与黄金分割,2,我们先来做一个游戏!,3,十秒钟加数,请用十秒,计算出左边一列数的和。,时间到!,答案是 231。,4,十秒钟加数,再来一次!,时间到!,答案是 6710。,5,这与“斐波那契数列”有关,若一个数列,前两项等于1,而从第三项起,每一项是其前两项之和,则称该数列为斐波那契数列。即:,1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , ,6,一、兔子问题和斐波那契数列,1 兔子问题 1) 问题 取自意大利数学家 斐波那契的算盘书 (1202年) (L.Fibonacci,1170-1250),7,兔子问题,假设一对初生兔子要一个月才到成熟期,而一对成熟
2、兔子每月会生一对兔子,那么,由一对初生兔子开始,12 个月后会有多少对兔子呢?,8,解答,1 月 1 对,9,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,10,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,11,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,12,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,13,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,6 月 8 对,14,解答,1 月 1 对,2 月 1 对,3 月 2 对,4 月 3 对,5 月 5 对,6 月 8 对,7 月
3、13 对,15,解答,可以将结果以列表形式给出:,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,因此,斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列, 即“斐波那契数列”,16,兔子问题的另外一种提法: 第一个月是一对大兔子,类似繁殖;到第十二个月时,共有多少对兔子? 月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子144对,小兔子89对,共有兔子144+89=233对。,规律,17,2 斐波那契数列 1) 公式 用 表示第 个月大兔子的对数,则有二阶递推公式,18
4、,2) 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3, 依次写出数列,就是 1,1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233,377, 这就是斐波那契数列。其中的任一个 数,都叫斐波那契数。,19,思:请构造一个3阶递推公式。,20,二、 相关的问题,斐波那契数列是从兔子问题中抽象出 来的,如果它在其它方面没有应用,它就 不会有强大的生命力。发人深省的是,斐 波那契数列确实在许多问题中出现。,21,1 跳格游戏,22,如图,一个人站在“梯子格”的起点处向上跳,从格外只能进入第1格,从格中,每次可向上跳一格或两格,问:可以用多少种方法,跳到第n格? 解:设跳到第n格的方法有 种。
5、 由于他跳入第1格,只有一种方法;跳入第2格,必须先跳入第1格,所以也只有一种方法,从而,23,而能一次跳入第n格的,只有第 和第 两格,因此,跳入第 格的方法 数,是跳入第 格的方法数 ,加上跳入 第 格的方法数 之和。 即 。综合得递推公式 容易算出,跳格数列 就是斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,,24,2 连分数 这不是一个普通的分数,而是一个分 母上有无穷多个“1”的繁分数,我们通常 称这样的分数为“连分数”。,25,上述连分数可以看作是 中,把 的表达式反复代入等号右端得到的;例如,第一次代入得到的是 反复迭代,就得到上述连分数。,26,上述这一全部由1构成的
6、连分数, 是最简单的一个连分数。,27,通常,求连分数的值,如同求无理数的值一样,我们常常需要求它的近似值。 如果把该连分数从第 条分数线截住,即把第 条分数线上、下的部分都删去,就得到该连分数的第 次近似值,记作 。,28,对照 可算得,29,发现规律后可以改一种方法算, 例如 顺序排起来,这个连分数的近似值逐次为,30,3 黄金矩形 1) 定义:一个矩形,如果从中裁去 一个最大的正方形,剩下的矩形的宽与长 之比,与原矩形的一样(即剩下的矩形与 原矩形相似),则称具有这种宽与长之比 的矩形为黄金矩形。黄金矩形可以用上述 方法无限地分割下去。,31,32,2) 试求黄金矩形的宽与长之比(也称为
7、黄金比) 解:设黄金比为 ,则有 将 变形为 ,解 得 ,其正根为 。,33,3) 与斐波那契数列的联系 为讨论黄金矩形与斐波那契数列的联系,我们 把黄金比化为连分数,去求黄金比的近似值。化 连分数时,沿用刚才“迭代”的思路:,34,反复迭代,得,35,它竟然与我们在上段中研究的连分数 一样!因此,黄金比的近似值写成分数表 达的数列,也是, 其分子、分母都由斐波那契数列构成。并 且,这一数列的极限就是黄金比 。,36,三、 黄金分割,1 定义:把任一线段分割成两段, 使 ,这样的分割叫黄金分割, 这样的比值叫黄金比。(可以有两个分割点) 1,37,2 求黄金比 解:设黄金比为 ,不妨设全段长为
8、 1,则大段= ,小段= 。 故有 , 解得 ,其正根为 A B,38,3 黄金分割的尺规作图 设线段为 。作 ,且 ,连 。作 交 于 , 再作 交 于 ,则 , 即 为 的黄金分割点。,39,证:不妨令 ,则 , , , 证完。,40,4. 黄金分割的美 黄金分割之所以称为“黄金”分割,是 比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金 比,是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术 门类中审美的因素之一。认为它表现了恰 到好处的“合谐”。 例如:,41,1) 人体各部分的比 肚 脐 : (头脚) 印堂穴: (口头顶) 肘关节: (肩中指尖) 膝 盖: (髋关节足尖),42,2) 著名建筑物中各部分的比,如埃
9、及的金字塔,高(137米)与底边长(227米)之比为0.629古希腊的巴特农神殿,塔高与工作厅高之比为3405530.615,43,3) 美观矩形的 宽长比 如国旗和其它用到矩形的地方(建筑、家具) 4) 风景照片中, 地平线位置的安排,44,5) 正五角星中的比,45,6) 舞台报幕者 的最佳站位 在整个舞台宽度的0.618处较美 7) 小说、戏剧的 高潮出现 在整个作品的0.618处较好,46,四、 优选法,1 华罗庚的优选法(“0.618法”) 二十世纪六十年代,华罗庚创造了并 证明了优选法,还用很大的精力去推广优 选法。 “优选法”,即对某类单因素问题,用 最少的试验次数找到“最佳点”
10、的方法。,47,例如,炼钢时要掺入某种化学元素加大钢 的强度,掺入多少最合适?假定已经知道每吨钢加入该化学元素的数量大约应在1000克到2000克之间,现求最佳加入量,误差不得超过1克。最“笨”的方法是分别加入100克,1002克,1000克,做1千次试验,就能发现最佳方案。,48,一种动脑筋的办法是二分法,取1000克2000克的中点1500克。再取进一步二分法的中点1250克与1750克,分别做两次试验。如果1750克处效果较差,就删去1750克到2000克的一段,如果1250克处效果较差,就删去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中点做试验,比较效果决定下一次的取舍,这种“二
11、分法”会不断接近最好点,而且所用的试验次数与上法相比,大大减少。,49,表面上看来,似乎这就是最好的方 法。但华罗庚证明了,每次取中点的试验 方法并不是最好的方法;每次取试验区间 的0.618处去做试验的方法,才是最好 的,称之为“优选法”或“0.618法”。 华罗庚证明了,这可以用较少的试验 次数,较快地逼近最佳方案。,50,2 黄金分割点的再生性和“折纸法” 黄金分割点的再生性,51,即: 如果是 的黄金分割点, 是 的 黄金分割点, 与 当然关于中点 对称。 特殊的是, 又恰是 的黄金分割点。同样, 如果 是 的黄金分割点,则 又恰是 的黄金分割点,等等,一直延续下去 。再生,52, 寻
12、找最优方案的“折纸法” 根据黄金分割点的再生性,我们可以设计一种直观的优选法“折纸法”。 仍以上边“在钢水中添加某种元素”的问题为例。,53,用一个有刻度的纸条表达1000克2000克。在这纸条长度的0.618的地方划一条线,在这条线所指示的刻度上做一次试验,也就是按1618克做第一次试验。 然后把纸条对折,前一条线落在下一层纸的地方,再划一条线(黄金分割点),这条线在1382克处,再按1382克做第二次试验。,54,把两次试验结果比较,如果1618克的效果 较差,我们就把1618克以外的短的一段纸条剪 去(如果1382克的效果较差,就把1382克以外 的一段纸条剪去)。 再把剩下的纸条对折,
13、纸条上剩下的那条 线落在下一层纸的地方,再划一条线(黄金 分割点),这条线在 1236克处。,55,按1236克做第三次试验,再和1382 克的试验效果比较,如果1236克的效果较 差,我们就把1236克以外的短的一段纸条 剪去。再对折剩下的纸条,找出第四次试 验点是1472克。,56,按1472克做试验后,与1382克的效 果比较,再剪去效果较差点以外的短的一 段纸条,再对折寻找下一次试验点,一次 比一次接近我们的需要,直到达到我们满 意的精确度。,57,注意,每次剪掉的都是效果较差点以外的短纸条,保留下的是效果较好的部分,而每次留下纸条的长度是上次长度的0.618倍。因此,纸条的长度按0.
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