第十讲数值积分教学课件.ppt
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1、1,第十讲 数值积分,2,第十讲主要知识点,求积公式、代数精度的概念 牛顿柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式* 各种求积公式的代数精度,3,引 言,依据微积分基本定理, 只要找到被积函数 的原函数 , ,便有牛顿-莱伯 公式 由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数, 而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表,所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。,4,数值求积的基本思想,依据积分中值定理, 就是说,底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。 取 内若干个节点 处的高度 , 通过加权平均的方法生成平均高度 ,这类求积公式称
2、机械求积公式: 式中 称为求积节点, 称为求积系数,亦称伴随节点的权。,5,定积分的思想,1.求积公式的一般形式 我们知道,定积分是求和式的极限即 。 它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知,定积分的基本分析方法是四步,即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量(整块曲边梯形面积)分成若干分量(小曲边梯形面积);近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表(这里是用矩形面积近似曲边梯形面积);求和就是把分量加起来得到总近似值;最后取极限就得到积分精确值。,6,矩形公式,将被积函数,在a处泰勒 展开,,,在x、a之间,,在,上连续,而,在,上不变号(非负),由积分中值定理知,于是有,两端积分,注意
3、右端第二项,设,式称为左矩形公式,其余项为,,,7,矩形公式(续),或者写为,同理,有右矩形公式,和中矩形公式,8,插值型求积公式,由插值理论可知,任一函数,给定一组节点,后,可用一n次多项式,对其插值,即,因此,当,为拉格朗日插值多项式时,即,则,,,9,插值型求积公式(续),其中,通常称公式为插值型求积公式。,10,代数精度的概念,数值求积方法是近似方法,为保证精度,自然希望所提供 求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。 如果机械求积公式对 均能准确成 立但对 不准确,则称机械求积公式具有 次 代数精度。 事实上,令求积公式对 准确成立,即得 可见,在求积公式节点给定的情况下,求积公式的
4、构造问题本 质上是个解线性方程组的代数问题。,11,插值型求积公式的代数精度(续1),容易验证左(右)矩形公式具有零次代数精度,中矩形公式具有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项,因此对于次数不大于n的多项式,其余项,因而插值型求积公式至少具有n次代数精度。,12,插值型求积公式的代数精度(续2),反之,如果求积公式至少具有n次代数精度,则对于插值基函数,(为n次多项式)求积公式准确成立,即,注意到,,上式右端实际上等于,即,求积公式为插值型求积公式。,13,插值型求积公式的代数精度(续3),定理 机械求积公式至少有 次代数精度的充 分必要条件是它是插值型的。,14,梯形公式,利用插值求积公
5、式,构造等距节点插值多项式,并以,近似,,这样就可以得到各种近似公式,过,两点,作直线,以,近似,得:,易见,上式的几何意义是用梯形 面积近似代替曲边梯形的面积, 故称式为梯形求积公式,如图所示。,15,梯形公式(续1),定理5.2 设,在区间,上具有二阶连续导数,则梯形求积公式有误差估计:,证明:由插值求积公式误差(5.9)式得,由于,,且,,,用积分中值定理,存在,使,16,梯形公式(续2),显然梯形公式至少具有一次代数精度。可以令,则有,因此梯形公式的代数精度为1。,17,梯形公式例题,例1 利用梯形公式计算,解:,18,牛顿柯特斯公式,设分 为 等份,步长 ,取等分点 构造出的插值型求
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