复变函数第3讲.ppt
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1、1,复变函数 第3讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,5 复变函数,3,1. 复变函数的定义,定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作 w=f(z),如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.,4,在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明,
2、所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.,5,例如, 考察函数 w=z2 令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi, 因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2-y2, v=2xy,6,2. 映射的概念,如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)
3、在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.,7,设函数w=z,x,y,O,u,v,O,8,设函数w=z2,9,由于函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. (1.5.1) 因此, 它把z平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 x2-y2=c1, 2xy=c2 分别映射成w平面上的两族平行直线 u=c1, v=c2,10,10,11
4、,函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. (1.5.1) 如果确定直线x=l(常数)与y=m(常数), 直线x=l的象的参数方程为 u=l2-y2, v=2ly, 消去参数y得直角坐标方程为 v2=4l2(l2-u) 同理可得直线y=m的象的方程为 v2=4m2(m2+u),12,13,假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射. 从
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