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1、掌握对数的定义和运算性质/掌握对数函数的图象和性质,第9课时 对数与对数函数,1定义 一般地,如果a(a0,a1)的b次幂等于N,就是abN,那么数b叫做以a为底N的数,记作logaNb,a叫做对数的底数,N叫做真数 2重要公式 (1)负数与零没有对数;(2)loga10,logaa1;(3)对数恒等式alogaNN. 3积、商、幂的对数运算法则 如果a0,a1,M 0,N0有:(1)loga(MN)logaMlogaN; (2)loga logaMlogaN; (3)logaMnnlogaM(nR),4对数换底公式 logaN (a0,a1,m0,m1,N0) 5对数函数的定义 函数ylog
2、ax(a0且a1)叫做对数函数,它是指数函数yax(a0且a1)的反数,6对数函数的性质,1函数y (x25x6)的单调增区间为( ) A( ,) B(3,) C(, ) D(,2) 解析:由x25x60解得x3, 则函数的定义域为(,2)(3,),又tx25x6在(,2)上递减,因此函数y (x25x6)的单调增区间为(,2) 答案:D,2设a1,函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 , 则a等于 ( ) A. B2 C2 D4 解析:根据已知条件loga(2a)logaa ,整理得:loga2 ,则 2, 即a4. 答案:D,3三个数60.7、0.76、log0.7
3、6的大小顺序是( ) A0.761,则0.76160.7. 答案:D,4(2010黄冈月考)已知函数f(x)lg ,若f(a)b,则f(a)等于( ) A. B Cb Db 解析:函数f(x)的定义域为1x1,又f(x)lg lg 1 lg f(x),则f(x)为奇函数,f(a)f(a)b. 答案:C,5 比较下列各组数的大小. (1) (2)log1.10.7与log1.20.7; (3)已知 比较2b,2a,2c的大 小关系. 解 (1) log51=0, ,(2)方法一 0log0.71.1log0.71.2, 即由换底公式可得log1.10.7ac,而y=2x是增函数,2b2a2c.,
4、对数源于指数,对数与指数互为逆运算,对数的运算可根据对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式进行在解决对数的运算和与对数的相关问题时要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化,解答:(1)原式 . (2)原式(lg 2lg 5)(lg22lg 2lg 5lg25)3lg 2lg 5 lg222lg 2lg 5lg25(lg 2lg 5)21. (3)解法一:原式,解法二:原式,变式1.(1)若2a5b10,求 的值(2)若xlog341,求4x4x的值 解答:(1)由已知alog210,blog510,则 lg 2lg 5lg 101. (2)由已知xlog43,则,对数函数
5、与指数函数互为反函数,在解决与对数函数相关的问题可类比指数函数问题,不仅要注意二者之间的联系,同时更要明确二者之间的区别,【例2】 设函数f(x)|lg x|,若0f(b),证明:abf(b),即|lg a|lg b|. 上式等价于lg2alg2b,即:(lg alg b)(lg alg b)0, lg(ab)lg 0,由已知ba0,得0f(b)可得两种情况,01,则lg a0. 故f(a)f(b)等价于lg alg b,即lg alg b0,可得lg(ab)0,故ab1.,变式2. 若函数f(x)满足对于(0,)上的任意实数x,y都有f(xy)f(x)f(y), 且x1时 f(x)0,试证:
6、 (1)f( )f(x)f(y);(2)f(x)f( );(3)f(x)在(0,)上递增 证明:(1)由已知f( )f(y)f(x),即f(x)f(y)f( ) (2)令xy1,则f(,利用对数函数的图象和性质可研究与对数函数相关的复合函数的图象和性 质,比如函数ylg(axb),ylg(ax2bxc), y yln(x )等,【例3】设f(x)lg 是奇函数,则使f(x)0的x的取值范围是( ) A(1,0) B(0,1) C(,0) D(,0)(1,) 解析:f(x)为奇函数,f(0)0.解之,得a1.f(x)lg .令f(x)0,则0 1,x(1,0) 答案:A,变式3.已知函数f(x)
7、ln(x ) (1)证明f(x)为奇函数;(2)若f(x)ln(2 ),求x的值 解答:(1)证明:x x|x|0,f(x)的定义域为R.f(x)ln(x )ln ln(x )1f(x)因此f(x)为奇函数 (2)由f(x)ln(2 ),即x 2 ,解得x2.,1. 指数概念和运算性质是从正整数指数幂(乘方)和根式(开方)概念和运算的统一,不断扩大幂指数的范围并作出一些合理规定得到的,要结合其发展过程加深理解和记忆 2对数概念是在指数式abN中为了由已知a和N的值求b的值而建立的当a0且a1时,abNlogaNb,注意在解题中运用等价转化思想,并能适当采用取对数和化同底的方法 3指数运算的实质
8、是指数式的积、商、幂的运算,对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式,对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积,【方法规律】,二、 1. 指数函数yax,a0,a1与对数函数ylogax(a0,a1)互为反函数, 应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别 2 明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象 3 利用指数函数和对数函数的性质可解决与指数函数和对数函数相关的方程和不等式等问题;利用对数函数和指数函数的性质和图象可解决如y4x32x1,ylg 等复合
9、函数的性质研究指数函数和对数函数的图象和性质也为研究其他初等函数提供了典型的范例.,(本题满分5分)若函数f(x)loga(x3ax)(a0,a1),在区间( ,0)内单调递增,则a的取值范围是( ) A ,1) B ,1) C( ,) D(1, ),解析:设g(x)x3ax,则g(x)3x2a, 当a1时,不等式组 对于x( ,0)恒成立,a无解; 当0a1时,不等式组 对于x( ,0)恒成立 解得 a1,故选B项 答案:B,【答题模板】,1已知函数的单调区间,求解析式中参数的范围,要转化为不等式恒成立问题,而不等式恒成立问题通常与函数的值域和最值相关在列不等式进行求解时特别要注意所列不等式区间端点的开闭 2我们通常遇到的问题是对数函数与一次函数、二次函数的复合,而对数函数与三次函数的复合问题,其中对三次函数单调性的判断最好是利用导数解决.,【分析点评】,
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