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1、姓名:鲍江宏 Tel:87113373 E-mail:,第一章 随机事件与概率,概率论的研究对象 随机事件 事件的关系和运算 频率与概率 古典概型 几何概型 概率的公理化定义,1.1 概率论的研究对象,试验:在标准大气压下,将水加热到100。C。 试验:在静电场中,观察同性电荷的行为。 试验:在地面上信手垂直上抛一石块。,特征:只要试验的条件不变,就会出现相应的唯一确定的结果。因此在这些试验中看到的现象称为确定性现象。,确定性现象:试验前可以预言其结果的,且在一定条件下,重复进行试验,它的结果总是肯定并且不变的。,试验:在相同的条件下,投掷一枚匀质的硬币。观察哪一面向上。 试验:在相同条件下,
2、投掷一颗匀质正六面体的骰子。观察所出现的点数 试验:从一批灯泡中,任取一只,测定灯泡的使用寿命,这些试验具有如下特点: 1)试验可以在相同的条件下重复进行。 2)试验可能出现的所有结果种类已知 3)在未试验之前,不知道下次试验出现的结果,但试验结果必是所有可能结果中的某一个。 具有这些特点的试验称为随机试验。,1)从随机试验中观察到的现象称为随机现象。 2)随机试验今后简称为试验。 3)在随机试验的重复实施中呈现出的不变性质,称为统计规律性。,说明:,!,概率论的研究对象就是随机现象的统计规律性,1.2 随机事件,样本空间:随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。常用表示。,样本点:样本空间的
3、元素称为样本点,常用表示。,试验:投掷一枚匀质的硬币,观察哪一面向上。规定带有国徽图案的是正面。 正面,反面,例1:,试验:投掷一颗匀质正六面体的骰子,观察所出现的 点数。 1,2,3,4,5,6 试验:从一批灯泡中,任取一只,测定灯泡的使用寿命 0,+)=xR0x +,试验1和试验2的样本空间只含有有限个元素,称为有限样本空间。 试验3的样本空间含有的元素是无限的,称为无限样本空间。,随机事件:样本空间的某些子集称为随机事件,简称事件。常用A、B、C等表示。 在一次试验中,当试验结果事件A时,称这次试验中事件A发生。 否则,当试验结果事件A时,称这次试验中事件A不发生。,两种特殊的随机事件:
4、,必然事件:样本空间在每次试验中均会发生,故称为必然事件。,不可能事件:空集在每次试验中均不会发生,故称为不可能事件。,不能再分解的事件称为简单事件或称为基本事件。 由基本事件组合而成的事件称为复合事件。 注意:基本事件是相对的,不是绝对的。,基本事件:只含单个样本点的集合称为基本事件或简单事件。,也可这样定义:,例2:,在下列试验中,试用集合表示下列事件。,解:,出现偶数点=2,4,6。,1)、投掷一颗匀质正六面体的骰子,出现偶数点的事件。,出现偶数点是一个复合事件。它可分解为更简单的事件, 出现偶数点 =出现点出现点出现点 但上述三事件不能再分解为更简单的事件,是基本事件。,2)、从一批灯
5、泡中,任取一只,测定灯泡的使用寿命。灯泡寿命大于100小时的事件。,解:灯泡寿命大于100小时100,A=“取到黑桃”=黑桃A,黑桃2,黑桃K B=“取到K”=黑桃K,红心K,梅花K,方块KC=“取到黑牌”=黑桃A,黑桃2,黑桃K,梅花A,梅花2,梅花K,小王 D=“取到黑桃K”=黑桃K,例:,随机试验E :从一副扑克牌中任取一张牌。 表示下列事件。,例3,在一批含有20件正品,5件次品的产品中随机地抽取2件,可能结果如下: A2件全是正品 B只有1件是正品 C2件全是次品 1)、在不计次序的假定下,A、B、C是基本事件 2)、如果考虑次序,B不再是基本事件,它可分解为B1和B2两个基本事件。
6、 B1第1次抽到正品,第2次是次品 B2第1次抽到次品,第2次是正品,一、事件的关系,1、事件的包含,如果事件A发生,事件B一定发生。则称事件B包含事件A。记为:,文氏图,例如:B出现偶数点,A出现点,1.3 事件的关系和运算,2、事件的相等,如果事件A与事件B互相包含,即 则称事件A等于事件B。记为:AB,3、事件的互斥,如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生),则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。记为:AB,如事件A1,A2,,An任意两个都互斥,则称这些事件是两两互斥的,简称互斥。即有 AiAj=,1i,jn,B,4、事件的对立,所谓事件与事件为对立事件,就是指与不同
7、时发生,但必发生一个。 由定义AB AB 记BA,则BA,例如:出现偶数点,出现奇数点;与互为对立事件。,二、事件的运算,1、事件的和,事件A与事件B的和是指事件A和事件B中至少有一个发生。记为AB。 例如:出现点或点,出现点或点;则AB 出现偶数点,当A、B互斥时,AB可记为AB。 n个事件A1,An的和 是指这n个事件中至少有一个发生。 如果事件A1,A2,An两两互斥,则 如果事件A1,A2,An两两互斥,且A1+A2+An,则称这n个事件构成互斥完备群。,例如:出现、4、6、点,出现1、点;则与构成互斥完备群。,可列多个事件的和事件,2、事件的积,事件A与事件B的积是指事件A和事件B同
8、时发生。记为AB或AB。,当A、B互为对立事件时,有:AB,AB。,可列多个事件的积事件,例如:出现点或点,出现点或点;则出现2点,例4:设、为任意三个事件,写出下列事件的表达式: 1)恰有二个事件发生。 2) 三个事件同时发生。 3)至少有一个事件发生。,解:,3、事件的差 事件与事件的差,是指发生,不发生。 由定义AB,AA 例如:出现点或点,出现点或点;则出现点,对于任意三个事件、,满足下列运算: 1)、交换律 AB=BA AB=BA 2)、 结合律 (AB)C= A(BC) (AB)C=A(BC) 3)、分配律 A (BC)= ABAC A(BC)= (AB)(AC) 4)、 对偶律,
9、三、事件的运算法则,例5:同时抛掷两颗骰子,以x,y表示第一、第二颗骰子出现的点数, =两颗骰子出现的点数之和为奇数 =两颗骰子出现的点数之差为零 =两颗骰子出现的点数之积不超过 问:(1)-;()BC ;()BC表示什么事件?,解:,(1)表示:满足xy0且xy为偶数。则 BA(1,1),(2,2),(3,3), (4,4),(5,5),(6,6),(2)C表示:满足xy0且xy20。则 BC(1,1),(2,2),(3,3), (4,4) (3)C表示:满足xy0或xy20。则 BC(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4),(6,5),
10、(5,6),例6:在纸牌游戏中,分别以Nk、Ek、Sk、Wk表示北家,东家,南家,西家至少有个“”(已知一副牌中共有个),问下列事件中西家有几个“”:,解:,(1)、W1表示西家至少有一个“”,则 表示西家没有“”。 (2)、N2S2表示北家与南家至少各有两个“”,但一副牌共有个“”,因此,北家与南家各有两个“”。即西家没有“”。,(3)、 分别表示北家、南家、东家没有“”,则 表示北家、南家、东家三家同时没有“”,即西家有个“”。,提问:,答案:西家至少有3个“”,1. 4 频率与概率,频率的定义,设事件在次试验中出现了次,则比值r/n称为事件在次试验中出现的频率。,概率的统计定义,在同一组
11、条件下所作的大量重复试验中,事件出现的频率总是在区间0,1上的一个确定的常数附近摆动,并且稳定于,则称为事件的概率,记作P(A)。,1)、非负性 对任一事件有:0P(A)1 2)、规范性 P()=1 3)、可加性 若事件与互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B),概率的性质,对于n个两两互斥的事件A1,A2,An,有 P(A1+A2+An)= P(A1)+P(A2)+P(An) 如果构成互斥完备群,则P(A1)+P(A2)+P(An)1,对一列两两互斥的事件A1,A2,An,有,4)、P()0,证明:对任一事件A,AA 则P(A)=P(A)=P(A)P() P()=0,证明:,证明:,7)、对
12、于任意事件、,有P(AB)=P(A)P(AB),证明:,8)、对于任意事件、,有P(AB)=P(A)P(B)P(AB),证明:AB=A+(BAB) P(AB)=P(A+(BAB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB),小概率原理,若在某试验中,事件A的概率非常接近于零。那么可以实际推断,若进行一次该试验,在试验的结果中事件A是不会出现的。从而实际上可将A看作是(实际)不可能事件。 即:小概率事件在一次试验中是不会发生的。,1.5 古典概型,古典概型的随机试验要求满足下两条件: 有限性。只有有限多个不同的基本事件。 等可能性。每基本事件出现的可能性相等。,投掷一枚匀质的硬币,观
13、察哪一面向上 在装有5个白球,6个蓝球的盒中随机抽取三个球,在古典概型中,如果基本事件(样本点)的总数为,事件所包含的基本事件(样本点)个数为r(rn),则定义事件的概率P(A)为r/n。即,古典概率,例:投掷一颗匀质骰子,求事件出现偶数点的概率?,解:,ei 出现第i点 样本空间U=e1,e2,e3,e4,e5,e6,即n=6 A=e2,e4,e6,即r=3 故,概率计算,例:袋中有三个白球两个红球,从袋中任取两个球,求以下事件的概率: () 取得两个都是白球 () 取得两个都是红球 () C取得一个白球一个红球,()袋中有三个白球,从袋中取两个白球有 种取法。即包含的基本事件个数 。 于是
14、,,解:袋中有五个球,任取两个共有 种取法,即基本事件总数 。,(3)袋中有两个红球,三个白球,故从袋中取一红一白有 种取法,包含的基本事件个数 。于是,,()从袋中取得两个红球,只有一种取法。即包含的基本事件的个数r=1。 于是,,例3:某车间有男工人,女工人,现要选三个代表前往先进单位参观学习,问个代表中至少有一个女工的概率是多少?,例4、(抽球类型)袋中有a个黄球,个白球,从中接连任意取出k个球(ka+b),且每次取出的球不再放回去,求第k次取出的球是黄球的概率? 分析:样本点就是从a+b中有次序地取k个球的不同取法;第k次取出的球是黄球意味着:第k次是从a个黄球中取出一球,再在a+b-
15、1个球中取出k-1个球。,解法一:,注:本结论说明按上述规则抽签,每人抽中黄球的机会相等,同抽签次序无关。,解法二:,例5:个质点在个格子中的分布问题。设有个不同质点,每个质点都以概率1/N落入个格子(Nn)的每一个之中,求下列事件的概率: 1) :指定个格子中各有一个质点; 2):任意个格子中各有一个质点; 3):指定的一个格子中恰有(mn)个质点。,解:每一个质点可以落入个格子中的任一个,即个质点共有Nn种分布。故基本事件总数为Nn 1)、事件包含的样本点数: 在个格子中放有个质点,且每格有一个质点,共有n!种不同方法;因此,事件包含的样本点数为n! 则,2)、事件包含的样本点数: 选取个
16、格子共有 种不同的方法;在个格子中放个质点,且每格有一个质点,共有n!种不同方法;因此,B事件包含的样本点数为n! 则,(3)事件包含的样本点数: 个质点可从n个质点中任意选取,共有 种不同方法。余下nm个质点任意放在余下的N1个格子中,共有(N1)nm种不同方法;因此,事件包含的基本事件数为(N1)nm 则,某班级有n个人(n365),问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大?,例6,解,例7(超几何分布),在一批总量为N件的产品中有N1件是次品,N2件是正品。今从中取出n件,求恰有k件次品的概率。,解:,例8:证明下列命题: ) 若A1与A2同时发生时发生,则有 P(A) P(A1)P(A
17、2)1 2) 若 ,则有 P(A) P(A1)P(A2)P(A3)2,证明:,几何概型,平面上有可测的区域G和g,向G中随机投掷一点M,设M必落在G内。 如M落在g内的概率只与g的面积成正比,而与g的位置和形状无关。 这样的随机实验,称为几何概型。,1.6 几何概型,向平面区域G内随机投点,则点M落入G内的部分区域g的概率,注意:随机投点是指M落入G内任一处均是等可能的。,g,M,G,几何概率,例9:会面问题,已知甲乙两船将在同一天的0点到24点之间随机地到达码头,该码头只有一个泊位。若甲先到达,需停靠6小时后才离开码头。若乙先到达,则要停靠8小时后才离开码头。问这两船中有船需等候泊位空出的概
18、率,解:,设甲船到达码头的时刻是x,乙船到达码头的时刻是y,显然0x,y24。,按题意,有y-x6,x-y8,例10:投针问题,平面上画着一些平行线,它们之间的距离等于a,向此平面任投长度为l(la)的针,试求此针与任一平行线相交的概率。,解:,设x表示针的中点到最近的一条平行线的距离,表示针与平行线的交角。如图 显然0xa/2, 0 为使针与平行线相交,必须,故所求概率为,1.7 概率的公理化定义,古典概率:试验结果要求有限、互不相容、等可能,几何概率:落入区域G内任一点是等可能的。,统计概率:要求作大量重复试验。,前面学了三种概率定义,各有其局限性。,事件域,由样本空间的一些子集构成的集合
19、F,如果满足如下条件:,则称F为一个事件域。,F中的元素称为随机事件,为必然事件,为不可能事件,定义在事件域F上的一个集合函数称为概率,如果它满足如下三个条件:,概率的公理化定义,1),2),3),对任一事件有:0P(A)1,P()=1,对于n个两两互斥的事件A1,A2,An,有 P(A1+A2+An)= P(A1)+P(A2)+P(An),作业: 3、7、9、16、19,1-10 房间中有4个人,试问恰有2个人的生日在同一个月份的概率是多少?,作业评讲,解,1-7 已知10个电子管中有7个正品和3个次品,每次任意抽取1个来测试,测试后不再放回去,直至把3个次品都找到为止,求需要测试7次的概率。,解,1-13 将3个球放置到4个盒子中去,求下列事件的概率:(1)A=设有一个盒子里有2个球;(2)B=3个球全在一个盒子内。,解,设A=取出的牌中至少有2张牌的花色相同 则 A=取出的3张牌中没有花色是相同的,1-19 在一副扑克牌中,任取3张,求取出的牌中至少有2张牌的花色相同的概率。,解,
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