概率论与数理统计第19讲.ppt
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1、1,概率论与数理统计 第19讲,本文件可从网址 http:/ 上下载,2,第五章 大数定律与中心极限定理,3,切贝谢夫不等式,设随机变量X有期望值E(X)及方差D(X), 则任给e0, 有,4,示意图,5,证 如X是离散型随机变量, 那么,6,如果X是连续型随机变量, Xf(x), 则,7,例 设X是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定e=1,2, 实际计算P(|X-E(X)|e), 并验证切贝谢夫不等式成立.,8,解 因P(X=k)=1/6, (k=1,2,3,4,5,6),9,验证切比雪夫不等式,10,例1 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼
2、此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率.,11,解 令X为同时开灯的数目, 则Xb(10000, 0.7),12,可见只要有供应7200盏灯的电力就够用.,13,大数定律的概念,例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率接近1/6是必然的.,14,例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近于a几乎是必然的.,15,算术平均值 在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验, 计划试
3、验n次, 就试验方案而言, 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量X1,X2,.,Xn. 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值,16,17,虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量, 人们相信当试验次数n无限增大的时候, 此随机变量将趋向于常数, 即数学期望, 这就是大数定律.,18,这就让人想到极限的概念. 但是, 传统的极限定义在这里遇到了麻烦. 传统的一个数列an的极限是定义为, 任给一个非常小的实数e, 存在着一个正数N, 当nN时, |an-a|e.,19,但概率不行. 比如说虽然掷硬币试验次数增加时频率将趋于0.5, 但无论试验多少回, 次次正面
4、向上的机会都是存在的.,20,因此, 人们就尝试其它的定义有关随机变量的极限的办法. 比如说均方收敛. 大家知道当一个随机变量的方差为0时, 这个随机变量实际上就是一个常数.,21,一组相互独立同分布的期望为m方差为s2随机变量, 它们的n个变量的算术平均值的期望和方差为,22,可见当随着试验次数增加, n次试验的算术平均值的数学期望将保持不变, 而其方差则随着n的增加而减少, 趋向于0, 因此可以认为算术平均值将趋向于一个常数, 即随机变量的期望.,23,由此定义出, 当一列随机变量的方差趋向于0的时候, 如果它们的数学期望不变为m, 则称为这组随机变量均方收敛于数学期望m, 记作,24,而
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