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1、第5章:范数理论及其应用 Norm Theory & its Applications,5.1 向量范数,Problem: 线性空间的向量是否定义其他形式的长度? Motivation: 欧氏空间的内积可以定义向量的范数 范数的本性特征。,范数的公理化定义 Definition (P108) : 要点:1. 正定性:长度总为正数;零向量长度为0; 2. 齐次性:成比例的向量其长度成比例; 3. 三角不等式:三角形两边之和大于第三边,例 Rn上的2-范数,1-范数,p-范数, -范数,Remark 有限维线性空间上的不同范数是等价的。(P113 定理5.1.2),5.2 矩阵范数,Problem
2、: 矩阵也可以定义长度? Motivation: 矩阵可以视为向量: 在matlab中的输入是1,2,3;4,5,6;7,8,9,矩阵范数的公理化定义 Definition (P116) : 要点:1. 正定性 2. 齐次性 3. 三角不等式 4. 相容性:(这是与向量范数不一样的地方),例 Rnn上的几种范数,Remark 上面矩阵范数都是向量范数的类推。,Remark 上面矩阵范数都与相应的向量范数相容。,例 Rnn上的几种范数,5.2 范数的应用,Content: 范数在特征值理论上的应用; 范数在数值计算上的应用; 范数在最小二乘解上的应用,最小二乘解的问题(1): 最小二乘解满足的条
3、件,Motivation 若线性方程组Ax=b无解,则希望寻找一个最接近的解。,Solution 定义误差(cost)函数:使误差最小!,Solution 根据正交投影定理(P039) 或者Laglange乘子法:在驻点处取得极值,线性方程组Ax=b的最小二乘解一定满足,例 求下面方程组的最小二乘解,最小二乘解的问题(2): 最小二乘解的表示,利用广义逆表示最小二乘解 (P127, Theorem 5.3.7) 不相容线性方程Ax=b的全部最小二乘解为,Motivation 最小二乘解如果有多个,那么代价(cost)最小的一个是什么?,最小二乘解的问题(3): 极小范数的最小二乘解,Solut
4、ion 极小范数最小二乘解为(P128, Theorem 5.3.8),例 求下面方程组的最小二乘解,以及极小范数最小二乘解,第6章:矩阵分析及其应用 Ch6 Matrix Analysis & its Applictions,6.2 矩阵函数及其计算,1 Definition (P142) 是幂级数,收敛半径为R。 如果 (A) R,则 有意义。,定义 ,称之为矩阵函数,Remark 一个函数可以写成幂级数,则可以定义相应的矩阵函数,常见的矩阵函数,含参数的的矩阵函数,例题5、 设A为反对称矩阵,证明eA为正交矩阵。 例题6 设 ,讨论 lnA 是否有意义,2. 矩阵函数的计算,Purpos
5、e: 计算,Idea:,Key step: 计算,Spectial Case: 矩阵可对角化,例 ,计算eA和eAt。,2 最小多项式方法,确定r()的依据:由在谱上等值确定r(), 即f()与r()在特征值的各阶导数相等,Remark r()为待定函数,其次数比最小多项式低1次,f(A)=r(A),例 (P147, Ex 6.2.3) 设 ,计算eA和eAt,例 (P148, Ex6.2.4) 设 ,计算sinA,sinAt,6.3 矩阵函数的微积分,一、矩阵函数及其分析性质 矩阵函数:A(t)=aij(t) mn, 分析性质: A(t)连续、可微分、可积分 aij(t),连续 可微分 可积分,微分性质,例题1 设 ,计算 d e At/dt 对任意方阵A,计算d e At/dt,6.4 矩阵函数的应用(求解常系数微分方程组),1. 微分方程组的一般形式 X (t)=A(t)X(t)+f(t) X(t 0 )=C。,齐次:f(t)=0 非齐次:f(t)0 常系数:A(t)=A,2. 一阶线性常系数齐次微分方程组 X (t)=AX(t) X(t 0 )=C。 其解为: X(t)=e A(t t 0) x(t0),例 (P161, Ex6.4.2) 求解,3. 一阶线性常系数非齐次微分方程组 X (t)=AX(t)+f(t) X(t 0 )=C。 其解为:,
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