第一篇数理逻辑.ppt
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1、,第 一 篇 数 理 逻 辑,数理逻辑(mathematical logic) 是用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科。,又称符号逻辑、现代逻辑。,其显著特征是符号化和形式化, 即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示,用公理体系来刻划, 并基于符号串形式的演算来描述推 理过程的一般规律。,逻辑演算四个分支: 公理集合论、证明论、模型论和递归论。,第 一 章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.2 重 言 式,1.3 范式,* 1.4 命题演算形式系统,第一章 命题演算及其形式系统,1.1.1 命题,1.1.2 联结词,1.1.3 命题公式及其真值表,1.1.4 语
2、句的形式化,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.2.1 重言式概念,1.2.2 逻辑等价式和逻辑蕴涵式,1.2.3 对偶原理,第一章 命题演算及其形式系统,1.2 重 言 式,1.3.1 析取范式和合取范式,1.3.2 主析取范式与主合取范式,1.3.3 联结词的扩充与归约,第一章 命题演算及其形式系统,1.3 范式,1.4.1 证明、演绎和推理,1.4.2 命题演算形式系统PC,1.4.3 自然推理系统ND,第一章 命题演算及其形式系统,* 1.4 命题演算形式系统,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.1 命题,我们把对确定的对象作出判断的陈述句
3、称作命题(propositions or statements),当判断正确或符合客观实际时, 称该命题真(true), 否则称该命题假(false)。,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.1 命题,通常把不含有逻辑联结词的命题 称为原子命题或原子(atoms),把由原子命题和逻辑联结词共同组成的 命题称为复合命题(compositive propositions or compound statements),第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.2 联结词,否定词“并非”,合取词“并且”,析取词“或”,蕴涵词“如果,那么”,双向蕴涵词“当且仅当
4、”,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.2 联结词,否定词(negation )“并非”(not ), 用符号“ ”表示。,可用表1.1来规定否定词“”的意义:,p读作“并非p”或“非p”。,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.2 联结词,合取词( conjunction )“并且”(and ), 用符号“”表示。,可用表1.2来规定合取词“”的意义:,pq读作“p并且q”或“p且q”,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.2 联结词,析取词(disjunction)“或”(or ) 用符号“ ”表示。,可用表1.3来规定析
5、取词“”的意义:,pq读作“p或者q”、“p或q”。,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.2 联结词,蕴涵词(implication)“如果,那么” (ifthen),用符号“ ”表示。,可用表1.5来规定该蕴涵词“ ”的意义:,pq中的p称为蕴涵前件,q称为蕴涵后件。,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.2 联结词,双向蕴涵词(two-way-implication)“当且仅当”(if and only if),用符号“ ”表示。,可用表1.6来规定该双向蕴涵词“ ”的意义:,pq读作“p双向蕴涵q”,“p当且仅当q”,“p等价于q”。,第一章
6、 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.3 命题公式及其真值表,命题常元,命题公式,指派,弄真与弄假,真值表(truth table),命题变元,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.3 命题公式及其真值表,我们把表示具体命题及表示常命 题的p,q,r,s等与f,t统称为 命题常元(proposition constants)。,命题变元(proposition variable) 是以“真、假”或“1,0”为取值范围的变元, 它未指出符号所表示的具体命题 。,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.3 命题公式及其真值表,以下三条款规定
7、了命题公式(proposition formula) 的意义:,(1)命题常元和命题变元是命题公式,也称为原子公式或原子。 (2)如果A,B是命题公式,那么(A),(AB), (AB),(AB),(AB)也是命题公式。 (3)只有有限步引用条款(1),(2)所组成的符号串 是命题公式。,定义1.1,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.3 命题公式及其真值表,对任意给定的命题变元p1,pn的一种取值 状况,称为指派或赋值(assignments) , 用字母,等表示,当A对取值状况 为真时,称指派弄真A或是A的成真赋值,记为(A) = 1; 反之称指派弄假A或是A的成假赋
8、值,记为 (A) = 0。,第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.3 命题公式及其真值表,对一切可能的指派,公式A的取值可能用下表来描述,这个表 称为真指表(truth table),第一章 命题演算及其形式系统,1.1 命题与联结词,1.1.4 语句的形式化,语句形式化主要是以下几个方面:, 要准确确定原子命题,并将其形式化。, 要选用恰当的联结词,尤其要善于识别自然语言中的 联结词(有时它们被省略),否定词的位置要放准确。, 必要时可以进行改述,即改变原来的叙述方式, 但要保证表达意思一致。, 需要的括号不能省略,而可以省略的括号, 在需要提高公式可读性时亦可不省略。
9、, 要注意语句的形式化未必是唯一的。,第一章 命题演算及其形式系统,1.2 重 言 式,1.2.1 重言式概念,定义1.2,重言式,不可满足式,可满足式,第一章 命题演算及其形式系统,1.2 重 言 式,1.2.1 重言式概念,对命题公式A,如果对A中命题变元的一切指派均弄真A,则A称为重言式(tautology), 又称永真式.,如果至少有一个指派弄真A,则A称为可满足式 (satisfactable formula or contingency)。,第一章 命题演算及其形式系统,1.2 重 言 式,1.2.1 重言式概念,如果对A中命题变元的一切指派均 弄假A,则称A为不可满足式或矛盾式
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