第一节n维欧氏空间.ppt
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1、第一节 n维欧氏空间,第二章 点集,主讲:胡努春,度量空间,定义:设X为一非空集合,d : XXR为一映射,且满足, d(x,y) 0,d(x,y)=0当且仅当x = y(正定性), d(x,y)=d(y,x) (对称性),则称(X,d)为度量空间., d(x,y) d(x,z)+d(z,y)(三角不等式),例:, Ca,b空间(Ca,b表示闭区间a,b上实值连续函数全体), 其中,欧氏空间(R n , d),其中,离散空间(X , d),其中,欧氏空间中各类点的定义,点P0的邻域:,P0为 E的接触点:,P0为 E的聚点:,P0为 E的孤立点:,欧氏空间中各类点的定义,P0为 Ec的内点:,
2、P0为 E的内点:,P0为 E的外点:,P0为 E的边界点:,注:接触点、聚点、边界点不一定属于E, 内点、孤立点一定属于E。,例(1)令 E = Q , 则,(2)令E=1,1/2,1/3,,1/k,则 对一切1/k (k=1,2,3, )均为E的孤立点。,接触点、聚点表示它与集合紧挨 内点表示它周围的点都在集合内,由定义可知,外点、接触点、内点的关系,P0为 E的接触点:,P0为 E的内点:,P0为 E的外点:,例 设p0是E的聚点, 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点.,这与(*)矛盾, 所以 为无限集。,证明:由条件知,例 E中的孤立点集或为有限集或为可数集。,这与
3、(*)式矛盾, 所以 是一簇两两不交的开区间, 从而A至多可数。,证明:设A为孤立点集, ,由孤立点 的定义知,聚点的等价描述,证明: 显然,下证,定理:下列条件等价: (1) p0为E的聚点 (3)存在E中互异的点所成点列pn, 使得,定义:称点列pn 收敛于p0 , 记为:,(2)点p0的任意邻域内,含有无穷多个属于E而异于p0的点,设p0是E的聚点,证明存在E中的互异的点所成的点列pn使,则上述取出的点列Pn是互异点列,且,证明:由聚点的定义知,P0为 E的接触点: P0为 E的聚点:,注:聚点的等价条件的证明中 ,1/n是为 了保证收敛,而d(pn-1,p0)是为了保证点列两两互异,但证明接触 点时,无法保证d(pn-1,p0)不为0,所以不能保证点列两两互异。,p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得,p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得,
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