第一讲有限元例题.ppt
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1、例0-1 一阶梯轴如图0-1所示,右端受一轴向载荷P,已知:,试用有限元法求解该问题,解:(1) 结构离散化 变形分析:只有轴向变形,各断面位移相同。假定每个节点有1个轴向位移,用线段表示轴向变形单元。,1,3,2,1、2、3 节点号 、 单元号,、 、 节点自由度编号,、 、 节点载荷编号,已知量: 、 、 未知量: 、 、,将结构离散成由3个节点,2个单元构成的离散结构。,(2) 选择位移插值函数。 在结构中任取一个单元,i,j,在单元上取一局部参考系,i点为原点,由i点指向j点。 ( 方向为正方向),i、j 单元节点(端点)编号,、 单元节点处位移编号,设单元内任一点x处(断面)的轴向位
2、移为 假定 (1) 由位移连续性知: 在i点应有 (2),将(2)、(4)代回(1)有, 单元长度 联立(2)(3),在j点应有,(3),解出:,(4),按 和 合并同类项,有,进一步写成矩阵形式有,令, 形函数矩阵, 单元节点位移向量,则有,(3)单元分析 基于最小势能原理,最小势能原理简介:,定义:, 结构势能, 弹性应变能, 外力虚功,结构平衡的必要条件是: 取驻值(稳定平衡为极小值),为应用最小势能原理,首先要计算结构的势能,分两部分:,1,弹性应变能 2,外力虚功,由于该结构所受外力非常简单,外力虚功可以表示为P与作用点位,移,的乘积,这里我们着重计算一下结构的弹性应变能:由于结构已
3、经离散化成两个单元,整个结构的弹性应变能可以表示为2个单元弹性应变能之和,因而,单元分析的重要任务之一就是计算单元的弹性应变能。,单元弹性应变能的计算:,令,称单元刚度矩阵,则单元弹性应变能可以表示为,其中, 单元节点位移向量,对单元1来说有,对单元2来说,(4)整体分析,目的:计算整个结构的势能。,首先计算弹性应变能。结构已离散成2个单元,结构应变能,可以表示为2个单元应变能之和。, 结构整体刚度矩阵, 结构整体节点位移向量,结构外力虚功,未知,结构势能可以表示为,代入泛函数极值条件有,或,可以得到,移项有,简记为, 结构近似平衡方程,(5)约束处理,目的:引入边界条件,清除刚体位移,使方程有唯一解。,方法:代入已知位移。,因为,的第一行与第一列均与0相乘,可以在方程中将其划去。,简化成,方程可以降阶为,(6)方程求解:,但实际分析中划行划列不方便,通常采用对角线置1,非对角线置0,的处理方案将方程变成,说明 以上二种形式等价,但在计算机中实现时,后者更方便。,这一步,一般要求解大型代数方程组,只能借助于计算机,(7)单元应力计算,单元1,单元2,有限元的特点:,1、算法统一,以不变应万变。,2、易于在计算机上实现。,3、简单问题复杂,复杂问题简单。,
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