第七节可降阶的高阶微分方程.ppt
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第七节 可降阶的高阶微分方程,本节考虑n阶微分方程,中的如下的三种特殊类型:,y(n)=f(x),特点:,特点:,特例:,解法:,例1,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,降低了方程的阶数,例2,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,例3,降低了方程的阶数,例4 已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程,并且与另一条曲线y=ex 相切于点(0,1), 求此曲线的方程.,解 曲线满足初值问题,. 分离变量、积分, 上式中无满足初始条件的解,,考虑,满足初始条件的解为 y=1-x,代入原方程, 得,解法:,特点:,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,1、 型,更一般的情况, 如,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 5,求得其解为,原方程通解为,特点:,解法:,2、 型,解,代入原方程得,原方程通解为,例 6,特点,解法:,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,附1) 恰当导数方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 7,特点:,解法:,附2) 齐次方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 8,解法小结,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,从而通解为,例 9,另解,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,解,原方程通解为,代入原方程,得,补充题:,思考题,
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