第三节全微分.ppt
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1、,第三节 全微分,一 全微分的概念,二 可微的必要和充分条件,三 全微分在近似计算中的应用,一 全微分的概念,如图,,一边长分别为x、y的长方形金属薄片,,受热后在长和宽两个方向上都发生变化,分别为x、y,那么,该金属薄片的面积A改变了多少?,A称为面积函数A=xy的全增量,,由两部分组成:,x,y的线性部分,当(x,y) (0,0)时,是一个比,高阶无穷小。,定义 设函数 在点(x,y)的某个邻域内有定义,点(x+x,y+y)在该邻域内,如果函数 在点(x,y)的全增量,可以表示为,其中A,B与x,y无关,,0时比高阶的无穷小。,则称函数 在点,(x,y)处可微,,称函数为在点(x,y),处
2、的全微分,记作dz,即,显然,dzz,是当,二 可微的必要和充分条件,定理(可微的必要条件),如果函数 在点(x,y)处可微,则它在该点处必连续,且它的两个偏导数都存在,并且,证明:,由函数 在点(x,y)处可微有,所以,即,因此,函数 在点(x,y)连续。,又因为 中的A,B与,x,y无关,也就是该式对任意的x,y都成立。,不妨取y=0,则有,上式两边同除以x,再令x0, 则有,即说明 存在,且,故有,注意:此命题不可逆。即若两偏导数都存在,也不能保证函数 在点(x,y)可微。,讨论函数:,由以前的讨论可知,在点(0,0)处它的两个偏导数都存在,可该函数在此点却不连续,不连续肯定不可微。,定
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- 关 键 词:
- 三节 微分
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