第九章环与域.ppt
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1、第九章 环与域,9.1 环:两个二元运算的代数结构 1.环的概念 定义9.1:是代数系统,+,是二元运算,若满足: (1):是阿贝尔群;(2):是半群; (3):对+可分配;则称为环(Ring),+称为加法,称为乘法(未必是数加和数乘);同时加法幺元记为0,加法逆元-x,n次幂为nx,若存在的话,乘法幺元记为1,逆元为 n次幂为,9.1 环,例9-1:(1):, , , 均为环;(2):实数分量的nn方阵集合 ,构成环: ;(3):,(5):(0为加法幺元,乘法零元)为环, 称为零环;(6):(1为乘法幺元)为环,9.1 环,2.环的性质 定理9.1:设是环,则对任意的a,b,c有: (1):
2、加法幺元必为乘法零元;(2):(-a)b=a(-b)=-(ab);(3):a(b-c)=ab-ac, (b-c) a=ba-ca;(4):,9.1 环,中不一定满足交换律,也不一定有幺元,但一定有零元。 3.子环与环同态 定义9.2:子环:环,若 构成环,则为R的子环。 子环判定: 定义9.3:环同态:,9.2 整环和域,定义9.4:设是环: (1).若满足交换律,则称R是交换环; (2).若运算含有幺元,则称R是含幺环; (3).若有非零元素a, b满足ab=0,则称a, b为R的零因子(a为左零因子,b为右零因子),此时称R为含零因子环,否则称R为无零因子环; (4).若R是交换环,含幺环
3、,也是无零因子环,则称R是整环。 例9-2:(1):Z,Q,R,C都是交换环,含幺环,无零因子环,整环;,9.2 整环和域,(2): 定理9.2:设R是环,则R中无零因子当且仅当R中乘法运算满足消去律,即: 有:,9.2 整环和域,定义9.5:R是环,令 ,若 为阿贝尔群,则称为域(field)。 由于 为群,满足消去律,无零因子,域必定是整环;域也可定义为:非零元素都有乘法逆元的整环。 例9-2:(1):, , 均为域, 不是域,无乘法逆元;,9.2 整环和域,定理9.3:有限整环都是域。 定理9.4: 为域的充要条件是p是素数。,9.2 整环和域,定理9.5:设为域,则F中非零元素在中有相同的阶。,9.2 整环和域,定义9.6:设为域, 为F的子环,且为域,则称S为F的子域。,9.2 整环和域,定理9.6:设为域, ,且 中至少有2个元素,那么 为的子域当且仅当 满足: 例:是和的子域。,
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