第九章重积分.ppt
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1、第九章 重积分,第一节 二重积分的概念与性质,第二节 二重积分的计算法,第三节 三重积分,三、二重积分的性质,二、二重积分的概念,一、问题的提出,第一节 二重积分的概念和性质,一、问题的提出,曲顶柱体的体积,柱体体积=底面积*高,特点:平顶.,柱体体积=?,特点:曲顶.,曲顶柱体,求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法,如下动画演示,步骤如下:,用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积,,先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域,,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块,,取典型小块,将其近似 看作均匀薄片,,所有小块质量之和 近似等于薄片总质量,二、二重积
2、分的概念,对二重积分定义的说明:,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,,则面积元素为,故二重积分可写为,(二重积分与定积分有类似的性质),性质,设 为常数,则,性质,对区域具有可加性,三、二重积分的性质,性质,如果 在上, , 为 的面积,则,性质,若在D上,则有,特殊地,(二重积分估值不等式),(二重积分中值定理),例1,估计积分 的值,其中 是矩形域,解:在区域 上,由于 , 所以,即,(确定被积函数在上的最大值和最小值),.,例2 判断 的符号。,解:,当 时,,故,又当,于是,时,,例3 比较积分,所围成的,解:,因为积分域 在直线 的下方,所以对任意点,从而有,而,由二重积分的性质得,(在 上比较被积函数的大小),其中 是由直线,和,。,均有,,,四、小结,二重积分的定义,(和式的极限),二重积分的几何意义,(曲顶柱体的体积),二重积分的性质,
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