第二节开集与闭集.ppt
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1、第二节 开集与闭集,第二章 点集,主讲:胡努春,开集、闭集,P0为 E的接触点: P0为 E的聚点: P0为 E的内点:,说明:要证E是开集,只要证 要证E是闭集,只要证,若E = E , 则称E为开集(E中每个点都为内点) 若 ,则称E为闭集(与E紧挨的点不跑到E外),例:开区间(a,b)为开集,说明:要证E是开集,只要证,证明:任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x是(a,b)的内点, 故(a,b)是开集。,例:闭区间a,b为闭集,说明: 要证E是闭集,只要证,证明:任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 则 ,从而x不是a,b的接触点,,从而a,b
2、的接触点都在a,b内, 从而a,b是闭集。,注:闭集为对极限运算封闭的点集,即:A为闭集当且仅当A中的任意收敛点列收敛于A中的点,利用: p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列pn, 使得 或 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列pn, 使得,若 (或 ),则称E为闭集。 (与E接近的点不跑到E外),E为开集,注: E为含于E内的最大开集,E,从而y为E的内点,从而 所以x为E的内点,即,证明:只要证,E为闭集,E为闭集,注: 为包含E的最小闭集,E,从而 即x为E的聚点,从而,开集与闭集的对偶性,P0为 E的接触点: P0为 E的聚点: P0为 E的内点: P0为 E的外
3、点:,b.若E为开集,则Ec为闭集; 若E为闭集,则Ec为开集。,a.,开集的余集是闭集,P0为 E的接触点: P0为 E的内点:,从而x不是Ec的接触点, 也即Ec的接触点一定在Ec内, 从而 ,即Ec为闭集。,证明:设E为开集,即,从而,闭集的余集是开集,P0为 E的接触点: P0为 E的内点:,证明:设E为闭集,即,任取 ,假如x不是Ec的内点, 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点,,从而x为E的接触点,由为闭集可知x在E内, 这与 矛盾,,所以Ec中的点都为Ec的内点,即Ec为开集。,开集的性质,a. 空集,Rn为开集; b. 任意多个开集之并仍为开集; c. 有限个开集之交仍为开集
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