第五章群论在量子力学中的应用sect51矩阵元的计算.ppt
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1、第五章 群论在量子力学中的应用 5.1 矩阵元的计算,矩阵元定理1(即维格纳一埃伽定理):属于两个不同的不可约不等价表示的任意两个基函数,或属于同一不可约表示的不同列的两个基函数相互正交。属于同一不可约么正表示同一行的基函数间的内积与行数无关。 属于 的基为 属于 的基为 上面定理意为: (*) 其中 ,与 和 无关。,= Cjjj,显然, Cj与无关。如归一, Cj1。,对于哈密顿算符的矩阵元,据PR的么正和H的对易性,有: 两边对R求和: 左边,右边 其中 ,它是与无关的常数。 (*),矩阵元定理2:对于不等价的不可约表示或同一个不可约表示的不同列的函数,哈密顿矩阵元为零,而对于同一个表示
2、的相同列的矩阵元都有相同的值。 (*)和(*)两式被称为矩阵元定理。,(*),(*),5.2 能量本征值和本征函数的近似计算,设在S、E () 中待求的函数 可按已知的完整本征函数系列 展开: () 代入(),并将方程的两边与 构成内积得: () 这是对于未知数 的线性齐次代数方程组。 其解存在的条件是: (久期方程),这样,久期方程为: 据上节中的矩阵元定理:除了 同时 以外,上式中其余的矩阵元均为零。 久期方程为: 其中 是矩阵元,其值:,以上讨论中,已假定了对于不同的j,其表示只有一个。实际中,还可能有这样的情况:即有1个D(1),2个D(2), j个D(j) 个D() ,这时按上面同样
3、讨论可得久期方程为准对角的行列式方程,其对角元素有些还是矩阵,尽管如此,它的维数要大大小于原久期方程的维数,从而也大大简化了计算,详细计算这里不作讨论。,1,2,m1维,m2维,5.3 微扰引起的对称性的降低,设在体系原哈密顿H0上加上一微扰H 则系统哈密顿为: 设群G是H0的对称群 群G是H的对称群 虽说G的每个变换都将保持H0不变,但一般G的每个变换并不都能保持H不变。 因此, G通常是G的子群。,例:均匀电场 加到氢原子上。 即:氢原子的斯塔克效应 则G(球对称) (轴对称) 的加入将引起电子能量中某些简并能级的劈裂,从而引起谱线的分裂。,根据G和 的不可约表示之间的关系可以预言简并能级
4、的分裂: 是G的子群 相应未被微扰的能级 的不可约表示 一般是 的可约表示即: 其中 是 的不可约表示,共有r个,对称性降低的作用是将对应表示 的能级劈裂成子能级,子能级的简并重数由 的不可约表示的维数确定。 注意:群论只能预言谱线的分裂,但分裂的具体大小,还要靠详细计算。,通常,对应这r个不可约表示的 的本征值,即对应的能量是不同的。,例:设有量子系统,未微扰前的哈密顿 具有O群(八面体群)的对称性:,八面体群,它包括立方体的24个对称转动。 24个元素可分成5个类: 因此它具有5个不可约表示 据Burnside定理 唯一的解为 因此,该群的不可约表示为: 二个一维表示 一个二维表示 二个三
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